Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

Cho biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

a) Rút gọn A nếu \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\);

b) Tìm x để \(A = 2\).

Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn rồi thực hiện phép tính:\[2\sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - \sqrt {\frac{1}{{15}}} \].

Cho biểu thức: \(C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

a) Rút gọn C nếu \(x \ge 0,x \ne 1;\)

b) Tìm \(x\) để C dương;

c) Tìm giá trị lớn nhất của      C.

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a). \[x\sqrt {13} \] với \[x \ge 0\].                                           b). \[x\sqrt 2 \] với \[x < 0\].                                           c). \[x\sqrt { - \frac{{11}}{x}} \] với \[x < 0\].

Chứng minh rằng:

a). \(\frac{{\left( {x\sqrt y - y\sqrt x } \right)\left( {2\sqrt y + 2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt {xy} }} = x - y\) với \(x > 0,\,y > 0\).

b). \(x + 2\sqrt {5x - 25} = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt {x - 5} } \right)^2}\) với \(x \ge 5\).

Chứng minh đẳng thức:

a). \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}} = 1{\rm{ (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

b). \[\frac{{a\sqrt b  + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^2}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = b{\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)\]

Xét biểu thức: \[A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\].

a) Rút gọn \(A\);                                        b) Biết \[{\rm{ a}} \ge 1\], hãy so sánh \(A\) và \[\left| A \right|\];

c)Tìm \(a\) để \(A = 2\);                            d)Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\).