Khai triển và rút gọn biểu thức (với \(x \ge 0;y \ge 0\))

a). \(\left( {\sqrt {2x} - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x} + 1} \right)\).

b). \(\left( {\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy} + 4y} \right)\).

c). \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x - \sqrt y } \right)\)

a). Ta có: \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 )}} - \frac{2}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 2  - 1 - 2 + 2 + 2\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}} = \frac{3}{{\sqrt 2  + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\)

b). Ta có: \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }} = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\( = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} }} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt 5  + 1}} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt 5  + 1}} = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left( {2\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {2\sqrt 2  - \sqrt {10} } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{6\sqrt 2  - 2\sqrt {10}  + 3\sqrt {10}  - \sqrt {50}  + 6\sqrt 2  + 2\sqrt {10}  - 3\sqrt {10}  - \sqrt {50} }}{{9 - 5}}\)

\( = \frac{{12\sqrt 2  - 2\sqrt {50} }}{4} = \frac{{12\sqrt 2  - 10\sqrt 2 }}{4} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a  \ge 1\] nên \[\sqrt a  - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a  = 2\\a - \sqrt a  - 2 = 0\\a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a  + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a  - 2 = 0\]

\[\sqrt a  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a  = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a  = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]