Giải phương trình:

a) \(\sqrt[3]{{{x^3} + 9{x^2}}} = x + 3\)                                                              b) \(\sqrt[3]{{5 + x}} - x = 5.\)

a) \(\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[3]{{3x - 2}}\)

\(2x - 1 + x - 1 + 3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right) = 3x - 2\)

\(3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right)}} = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Thử lại ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{1}{2}\); \(x = 1\) và \(x = \frac{2}{3}\).

b) \(\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{x + 6}} = \sqrt[3]{{2x + 11}}\)

\(x + 5 + x + 6 + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{x + 6}}} \right) = 2x + 11\)

\(3\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {2x + 11} \right)}} = 0\)

\[x =  - 5\] hoặc \[x =  - 6\] hoặc \[x =  - \frac{{11}}{2}.\]

Thử lại ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 5; - \frac{{11}}{2}; - 6} \right\}\).

a) \(A = \sqrt[3]{{{2^3} + 3 \cdot {2^2}\left( {\sqrt 2 } \right) + 3 \cdot 2 \cdot {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{2^3} - 3 \cdot {2^2}\left( {\sqrt 2 } \right) + 3 \cdot 2 \cdot {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}}\)

\( = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 + \sqrt 2  + 2 - \sqrt 2  = 4\)

b) \({B^3} = 182 + \sqrt {33125}  + 182 - \sqrt {33125}  + 3\sqrt[3]{{{{182}^2} - 33125}}B = 364 - 3B.\)

Khi đó  \({B^3} + 3B - 364 = 0\) nên \(\left( {B - 7} \right)\left( {{B^2} + 7B + 52} \right) = 0\), suy ra \(B = 7\).

(do \({B^2} + 7B + 52 = {\left( {B + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{159}}{4} > 0\)).