Giải các phương trình sau

a) \[\sqrt[3]{{1\,\,000x}} - \sqrt[3]{{64x}} - \sqrt[3]{{27x}} = 15\]                               b) \(\sqrt[3]{{x - 3}} + 3 = x\)

a) \[\sqrt[3]{{ - 64}} - \sqrt[3]{{125}} + \sqrt[3]{{216}} =  - 4 - 5 + 6 =  - 3\]

b) Ta có \[{\left( {\sqrt[3]{4} + 1} \right)^3} - {\left( {\sqrt[3]{4} - 1} \right)^3}\]

\[ = \left( {\sqrt[3]{4} + 1 - \sqrt[3]{4} + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{4} + 1} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{4} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{4} - 1} \right) + {{\left( {\sqrt[3]{4} - 1} \right)}^2}} \right]\]

\[ = 2.\left( {\sqrt[3]{{16}} + 2\sqrt[3]{4} + 1 + \sqrt[3]{{16}} - 1 + \sqrt[3]{{16}} - 2\sqrt[3]{4} + 1} \right) = 2\left( {3\sqrt[3]{{16}} + 1} \right) = 2\left( {6\sqrt[3]{2} + 1} \right)\]

c) Ta có \[\left( {12\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{{16}} - 2\sqrt[3]{2}} \right)\left( {5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right)\]

\[ = \left( {12\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2}} \right)\left( {5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right) = 12\sqrt[3]{2}\left( {5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{{\frac{1}{2}}}} \right) = 120 - 36 = 84\]

a) \(\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[3]{{3x - 2}}\)

\(2x - 1 + x - 1 + 3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 1}}} \right) = 3x - 2\)

\(3\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right)}} = 0\)

\(x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Thử lại ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{1}{2}\); \(x = 1\) và \(x = \frac{2}{3}\).

b) \(\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{x + 6}} = \sqrt[3]{{2x + 11}}\)

\(x + 5 + x + 6 + 3\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}}\left( {\sqrt[3]{{x + 5}} + \sqrt[3]{{x + 6}}} \right) = 2x + 11\)

\(3\sqrt[3]{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {2x + 11} \right)}} = 0\)

\[x =  - 5\] hoặc \[x =  - 6\] hoặc \[x =  - \frac{{11}}{2}.\]

Thử lại ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 5; - \frac{{11}}{2}; - 6} \right\}\).