Cho đường tròn \((O)\)đường kính \(AB\), dây \(CD\) cắt đường kính \(AB\) tại \(E\). Gọi \(H,K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(B\) đến \(CD\). Chứng minh rằng \(CH = DK\).

Ta có \({\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}\). Tam giác \(A{\rm{OB}}\) cân tại \({\rm{O}}\) nên đường cao \({\rm{OH}}\) đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

\({\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}\)

Xét tam giác vuông AHO ta có:

\({\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}}  = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \({\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}\).

Nhận xét: Do \(HI = KI\) và \[IC\; = ID\] nên ta có \(HI + ID = IK + IC\) hay \(HD = KC\). Ta có bài toán sau:

Cho đường tròn \((O)\)đường kính \(AB\), dây \(CD\) không cắt đường kính \(AB\). Gọi \(H,K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ \(A,B\) đến \(CD\). Chứng minh rằng \(HD = CK\) (Học sinh tự giải).

Trường hợp dây \(CD\) cắt đường kính \(AB\) đưa ta đến bài toán 4 sau đây.