Truy cập không giới hạn toàn bộ khóa học. Đăng ký ngay

✕

Kích hoạt VIP

Tạo VIP

Câu hỏi:

07/04/2026 55

Cho đường tròn \((O)\)đường kính \(AB\), dây \(CD\) cắt đường kính \(AB\) tại \(E\). Gọi \(H,K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(B\) đến \(CD\). Chứng minh rằng \(CH = DK\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 bài tập Các bài toán về chứng minh (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Trường hợp dây \(CD\) cắt đường kính \(AB\) đưa ta đến bài toán 4 sau đây. (ảnh 1)$

Kẻ \(OI \bot CD\) ta có \(IC = ID\) (tam giác \(COD\)cân tại \(O\) nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và \(AK\) ta có \(M\) là trung điểm của \[AK\].

Xét \(\Delta AKH\) có \(M\) là trung điểm của \[AK\]

\[MI{\rm{\;//}}AH\](vì cùng \( \bot CD\))

\( \Rightarrow \) \[I\] là trung điểm của \[HK\] hay \(IH = IK\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IC - IH = ID - IK\) hay \(CH = DK\)

Nhận xét: Theo bài toán 1. Trên dây \[CD\] ta lấy thêm điểm \[M\].

Khi đó \(OI \le OM\). Mà \(OM = \frac{{AH + BK}}{2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow AH + BK \le 2OM\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn \(ABC\). Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(MN\) < \(BC\).

Lời giải

$\( \Rightarrow M{H^2} = HA \cdot HB\) (đpcm). (ảnh 1)$

Dễ thấy các tam giác \[BMC\] và \[BNC\] đều là các tam giác vuông lần luợt tại \(M\) và \(N\) và \(OM,ON\) lần luợt là các trung tuyến.

Ta có \(OM = ON = OB = OC( = R\), trong đó \[R\] là bán kính đường tròn đường kính \(BC\) )

Xét tam giác \[MON\], ta có \(MN < OM + ON\) (bất đẳng thức tam giác)

Mà\(OM + ON = OB + OC = BC\).

Vậy \(MN < BC\).

Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”.

Câu 2

Cho đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB\). M là điểm cố định nằm trong đường tròn ( \(M\) khác \(O\) ) và \[CD\] là dây cung quay quanh \(M\). Gọi \[H,{\rm{ }}K\]lần lượt là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên \(CD\). Xác định vị trí của dây CD để \(AH + BK\) lớn nhất.

Hướng dẫn: Kẻ \(OI \bot CD\).

Lời giải

Chúng ta sẽ có bài toán sau: (ảnh 1)

Ta có \[AH,{\rm{ }}BK\] cùng vuông góc với \[CD\]

\( \Rightarrow \) Tứ giác \[ABKH\] là hình thang và có \[OI\] là đường trung bình

\(OI = \frac{{AH + BK}}{2} \Rightarrow AH + BK = 2OI\)

Ta có \(OI \le OM\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Dấu " =" xảy ra khi \(OM \bot CD\)

Câu 3

Từ điểm \(P\) nằm bên ngoài đường tròn (\(O;R\)) và \(OP = 2R\). Một đường thẳng qua \(P\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(A\) và \(B\) (\(A\) nằm giữa \(B\) và \(P\)) và \(AB = R\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(O\) đến \(BP\). Qua \(P\) kẻ một đường thẳng khác cắt đường tròn \((O)\) tại \(C\) và \(D\) (C, \(D\) khác phía với \(AB\) so với \(OP\)). Kẻ \(OK \bot CD\). So sánh \(AB\) và \(CD\) biết \(OK < \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường tròn (O). Các dây \(AB\) và \(CD\) bằng nhau, các tia \(BA\) và DC cắt nhau tại điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \[H,{\rm{ }}K\;\] lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(MA = MC\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho \(M\) là điểm nằm bên trong đường tròn \((O)\), vẽ qua \(M\), hai dây \(AB\) và \(CD\) sao cho \(AB > CD\). Gọi \(H,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng: \(MH > MK.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho điểm \({\rm{A}}\)cố định ở bên trong đường tròn \(\left( {{\rm{O}};R} \right)\) và \({\rm{A}}\) không trùng với \({\rm{O}}\). \({\rm{BC}}\) là dây cung quay quanh \({\rm{A}}\). Xác định vị trí của dây cung \({\rm{BC}}\) lúc dây cung \({\rm{BC}}\) ngắn nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) và một điểm \(M\) tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ \(M\) đến \(AB\) không lớn hơn \(\frac{{AB}}{2}\).

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với \(a,b \ge 0\), ta có \(\sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »