Cho đường tròn (O) hai dây \(AB\) và \(CD\) sao cho \(AB > CD\). Các tia \(BA\) và \(DC\) cắt nhau tại \(M\) nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \(H,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Hãy so sánh MH và MK.

Kẻ \(OI \bot CD\) ta có \(IC = ID\) (tam giác \(COD\)cân tại \(O\) nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến)

Gọi M là giao điểm của OI và \(AK\) ta có \(M\) là trung điểm của \[AK\].

Xét \(\Delta AKH\) có \(M\) là trung điểm của \[AK\]

\[MI{\rm{\;//}}AH\](vì cùng \( \bot CD\))

\( \Rightarrow \) \[I\] là trung điểm của \[HK\] hay \(IH = IK\) (2)

Ta có \({\rm{OH}} \bot {\rm{BP}}\). Tam giác \(A{\rm{OB}}\) cân tại \({\rm{O}}\) nên đường cao \({\rm{OH}}\) đồng thời là đường tuyến H là trung điểm của AB:

\({\rm{HA}} = {\rm{HB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{\rm{R}}}{2}{\rm{.\;}}\)

Xét tam giác vuông AHO ta có:

\({\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^3} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}}  = \sqrt {{{\rm{R}}^2} - {{\left( {\frac{{\rm{R}}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \({\rm{OK}} < \frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow {\rm{OK}} < {\rm{OH}} \Rightarrow {\rm{AB}} < {\rm{CD}}\).