Tâm \({\rm{O}}\) cùa một đường tròn (cách dây \({\rm{AB}}\) của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng cung nhỏ AB có số đo bằng \(100^\circ \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Ta có I là trung điểm của dây AB (gt)

\( \Rightarrow I{\rm{A}} = {\rm{IB}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)\;}}\) (định lý

đường kính và dây cung)

Trong tam giác vuông AIO ta có:

\[\;OI = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{O}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{I}}^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,\,({\rm{cm}})\] (định lí Pythagore)

Suy ra \[IM = {\rm{OM}} - {\rm{OI}} = 5 - 4 = 1\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Xét tam giác vuông AIM ląi có:

\({\rm{AM}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{I}}^2} + {\rm{I}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{9^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \,\,({\rm{cm}}){\rm{\;}}\) (định lý Pythagore)

b) Chứng minh như trên ta có:

\(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\,\,({\rm{cm}})\)

Xét tam giác vuông AIN ta có: \(NI = \sqrt {A{N^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\,\,({\rm{cm}})\)

Kẻ \(OK\)ꓕ AN ta có \(KA = KN = \frac{{AN}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\,\,({\rm{cm}})\)

Mặt khác $\Delta AIN\backsim \Delta OKN$  (g.g)

Suy ra \(\frac{{NO}}{{NA}} = \frac{{NK}}{{NI}} \Rightarrow NO = \frac{{NA.NK}}{{NI}} = \frac{{10.5}}{8} = 6,25\,\,({\rm{cm}})\)

Vậy \(R = 6,25\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{.}}\)

a) Gọi khoảng cách từ \({\rm{O}}\) đến đường thẳng \({\rm{AB}}\) là \({\rm{OH}}\)

Tam gíac \({\rm{AOB}}\) cân tại \({\rm{O}}\)nên đường cao \({\rm{OH}}\)

cũng đồng thời là đường trung tuyến hay

\({\rm{AH}} = {\rm{BH}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\,{\rm{(cm)}}\).

Xét tam giác AHO vuông tại\({\rm{H}}\), theo định li Pythagore, ta có:

\({\rm{O}}{{\rm{A}}^2} = A{H^2} + O{H^2} \Rightarrow O{H^2} = {\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - A{H^2} = {5^2} - {3^2}\)

\[{\rm{OH}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,\,{\rm{(cm)}}\]

b) Khi \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 2\alpha  \Rightarrow \widehat {{\rm{AOH}}} = \widehat {{\rm{BOH}}} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{2\alpha }}{2} = \alpha \) (vì tam giác \({\rm{AOB}}\) cân tại \({\rm{O}}\) nên đường cao \({\rm{OH}}\) đồng thời là đường phân giác).

Xét tam giác AHO vuông tại \({\rm{H}}\), ta có: \({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{3}{4}\).