Gọi \({\rm{I}}\) là trung điếm của dây cung \({\rm{AB}}\) không qua tâm của đường tròn (O; R). Qua \({\rm{I}}\) vẽ dây cung \({\rm{CD}}\).

a) Chứng tỏ \({\rm{CD}} \ge {\rm{AB}}\). Tìm độ dài nhỏ nhất, lớn nhất của các dây quay quanh \({\rm{I}}\).

b) Cho \({\rm{R}} = 5{\rm{\;cm}},{\rm{OI}} = 4{\rm{\;cm}}\). Tính độ dài dây cung ngắn nhất qua \({\rm{I}}\).

c) Chứng tỏ rằng: \(\widehat {{\rm{OAI}}} > \widehat {{\rm{ODI}}}\).

a) Kẻ \({\rm{OK}} \bot {\rm{CD}}\), ta có ∆\({\rm{OKI}}\) vuông tại \({\rm{K}} \Rightarrow {\rm{OI}} \ge {\rm{OK}}\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông).

có I là trung điểm của \({\rm{AB}}\) (gt).

Tam giác \({\rm{AOB}}\) cân tại \({\rm{O}}\left( {{\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{R}}} \right)\) nên đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao hay \({\rm{OI}} \bot {\rm{AB}}\).

Xét tam giác vuông AIO, theo định lí Pythagore: \({\rm{AI}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{I}}^2}} \).

Tương tự với tam giác vuông \({\rm{OKD}}:{\rm{KD}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{D}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{K}}^2}} \)

Mà \({\rm{OI}} > {\rm{OK}}\left( {{\rm{cmt}}} \right) \Rightarrow {\rm{KD}} > {\rm{AI}}\), mà \({\rm{K}}\) là trung điểm của \({\rm{CD}}\) và \({\rm{I}}\) là trung điểm của \({\rm{AB}} \Rightarrow {\rm{CD}} \ge {\rm{AB}}\).

Dấu " \( = \) " xảy ra khi \({\rm{CD}} = {\rm{AB}}\).

Do đó độ dài nhỏ nhất của \({\rm{CD}}\) bằng \({\rm{AB}}\) hay \({\rm{CD}}\) trùng với \({\rm{AB}}\). Hiển nhiên đường kính qua \({\rm{I}}\) là dây lớn nhất.

b) Ta có \(\Delta OIA\)vuông tại \({\rm{I}}\):

 \({\rm{AI}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{I}}^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)

Do đó dây cung \({\rm{AB}} = 6\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).

c) \({\rm{sin}}\widehat {{\rm{OAI}}} = \frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{OA}}}} = \frac{{{\rm{OI}}}}{{\rm{R}}};{\rm{sin}}\widehat {{\rm{ODI}}} = \frac{{{\rm{OK}}}}{{{\rm{OD}}}} = \frac{{{\rm{OK}}}}{{\rm{R}}}\)

Mà \({\rm{OI}} > {\rm{OK}} \Rightarrow \frac{{{\rm{OI}}}}{{\rm{R}}} > \frac{{{\rm{OK}}}}{{\rm{R}}}\)

hay \({\rm{sin}}\widehat {{\rm{OAI}}} > {\rm{sin}}\widehat {{\rm{ODI}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{OAI}}} > \widehat {{\rm{ODI}}}\).