Từ điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) ( \(B\) là tiếp điểm). Lấy một điểm \(C\) trên đường tròn sao cho \(AC = AB\). Chứng minh rằng \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có chu vi \(\Delta APQ\) bằng AP + PQ + QA và PQ = PM + MQ nên chu vi \(\Delta APQ\) bằng \[AP + PM + MQ + QA{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Mặt khác ta có: PB = PM và QC = QM (2) (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Từ (1) và (2) ta có :

AP + PM + MQ + QA = AP + PB + QC + QA = AB + AC

Vậy chu vi \(\Delta APQ\) bằng AB + AC không đổi.

a) Ta có \(AC\), \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {M;MH} \right)\) nên \(AM\) là phân giác của góc \(\widehat {CMH}\) hay \(\widehat {CMA} = \widehat {AMH}\)

Chứng minh tương tự có \(\widehat {HMB} = \widehat {BMD}\) Mà \(\widehat {AMH} + \widehat {HMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (\(AB\) là đường kính)\( \Rightarrow \widehat {CMA} + \widehat {AMH} + \widehat {HMB} + \widehat {BMD} = 180^\circ \) hay ba điểm \(C\), \(M\), \(D\) thẳng hàng \( \Rightarrow CA//BD\left( { \bot CD} \right)\) hay tứ giác \(ABDC\) là hình thang vuông có \(OM\) là đường trung bình nên \(OM{\rm{//}}AC\) và \(BD \Rightarrow OM \bot CD\). Chứng tỏ \(CD\) là tiếp tuyến của (O).

b) Ta có \(AC = AH\), \(BD = BH\) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow AC + BD = AH + BH = AB = 2R\) không đổi.