Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( {I;6{\rm{\;}}cm} \right)$ và $ME$, $MF$ là hia tiếp tuyến của đường tròn này tại $E$ và $F$. Cho biết \[\widehat {EMF} = 60^\circ \].

a) Tính số đo $\widehat {EMI}$ và $\widehat {EMI}$.

b) Tính độ dài $MI$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn \(\left( {I;6{ (ảnh 1)$

a) Ta có $MI$ là đường phân giác của góc $EMF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $ \Rightarrow \widehat {EMI} = \widehat {FMI} = \frac{{\widehat {EMF}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ $.

Xét tứ giác $MEIF$ có: $\widehat {MEI} = \widehat {MFI} = 90^\circ $ (tính chất của tiếp tuyến)

\[ \Rightarrow \widehat {EIF} = 360^\circ - \left( {\widehat {MEI} + \widehat {MFI} + \widehat {EMF}} \right)\]$ = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 60^\circ } \right) = 120^\circ $

b) Xét tam giác $MEI$ vuông tại $E$ có $\widehat {EMI} = 30^\circ $ (cmt)

$ \Rightarrow MI = 2EI = 2.6 = 12\left( {{\rm{\;}}cm} \right){\rm{.\;}}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ với $OA = 2R$. Vẽ hai tiếp tuyến $AB$, $AC$ đến đường tròn ($B$, $C$ là tiếp điểm). Chứng minh rằng $\Delta ABC$ đều và tính các cạnh của nó theo $R$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho đường tròn $\left( O \right)$, điểm $M$ nằm n (ảnh 1)$

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ (tính chất tiếp tuyến)

Ta có ${\rm{sin}}{A_1} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {{A_1}} = {30^ \circ } \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^ \circ }$

$A{B^2} = A{O^2} - O{B^2}$$ = {(2R)^2} - {R^2} = 3{R^2}$ $ \Rightarrow AB = R\sqrt 3 $

$\Delta ABC$ cân (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) có $\widehat {BAC} = {60^ \circ }$ nên là tam giác đều $ \Rightarrow AC = BC = AB = R\sqrt 3 $.

Câu 2

Cho đường tròn $\left( {O;5{\rm{\;}}cm} \right)$. Điểm $M$ nằm ngoài $\left( O \right)$ sao cho hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ ($A$, $B$ là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại $M$.

a) Tính độ dài của $MA$ và $MB$.

b) Qua giao điểm $I$ của đoạn thẳng $MO$ và đường tròn $\left( O \right)$, vẽ một tiếp tuyến cắt $MA$, $MB$ lần lượt tại $C$, $D$. Tính độ dài của $CD$.

Xem đáp án

Lời giải

$a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông) (ảnh 1)$

a) Dễ thấy tứ giác $MBOA$ là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $MBOA$ là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)$ \Rightarrow MA = MB = 5{\rm{\;}}cm{\rm{.\;}}$

b) $DB$ và $DI$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OD$ là tia phân giác của $\widehat {MOB} = {45^ \circ }$ $ \Rightarrow \widehat {DOB} = \widehat {DOI} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22,5^\circ $.

Xét tam giác $DBO$ vuông tại $B$, có $\widehat {DOB} = 22,5^\circ $ và cạnh góc vuông $OB = 5{\rm{\;}}cm$.

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\[BD = OB \cdot \tan \widehat {DOB} = 5 \cdot \tan 22,5^\circ \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)\] $ \Rightarrow DI = DB \approx 2,1\,\,\left( {cm} \right)$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có $MD = MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Tam giác $DMC$ cân có $MI$ là đường cao nên đồng thời là trung tuyếr. Hay $IC = DI \approx 2,1$ (cm) $ \Rightarrow CD = 2.2,1 \approx 4,2\,\,\left( {cm} \right)$

Câu 3