Cho nửa đường tròn đường kính \(BC = 5\;cm\). Lấy điểm \(A\) trên nửa đường tròn. Phân giác của góc \(ABC\) cắt tiếp tuyến tại \(C\) và \((O)\) tại \(K\) và cắt \(AC\) tại \(D\). Biết \(AB = 4\;cm\). Khi đó BK là

Chọn B

Theo tính chất đoạn nối tâm trong trường hợp hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có: \[AB = AC = 10 + 15 = 25\,\left( {cm} \right)\]; \[BC = 15 + 15 = 30\,\left( {cm} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\]

\[ \Rightarrow AM\] là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác của \[\Delta ABC\]

\[ \Rightarrow AM = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{25}^2} - {{15}^2}}  = 20\,\left( {cm} \right)\]

\[{S_{ABC}} = \frac{{AM.BC}}{2} = \frac{{20.30}}{2} = 300\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\]

\[{S_{BPM}} = \frac{1}{2}BM.BP.\sin B = \frac{1}{2}BM.BP.\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}.15.15.\frac{{20}}{{25}} = 90\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\]

Chứng minh được \[\Delta BPM = \Delta CNM \Rightarrow {S_{CNM}} = 90\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\]

\[\Delta APN\] cân tại \[A\] \[ \Rightarrow \widehat {APN} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2}\] (tính chất góc ở đáy của tam giác cân)

\[ \Rightarrow PN\,\,{\rm{//}}{\kern 1pt} \,BC\] (có hai góc đồng vị bằng nhau)

\( \Rightarrow \Delta APN\)\(\Delta ABC\) \[ \Rightarrow \frac{{{S_{APN}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{AP}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{10}}{{25}}} \right)^2} = \frac{4}{{25}}\]

\[ \Rightarrow {S_{APN}} = \frac{4}{{25}}.{S_{ABC}} = \frac{4}{{25}}.300 = 48\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\]

Diện tích tam giác \[MNP\] là

\[{S_{MNP}} = {S_{ABC}} - {S_{APN}} - {S_{BPM}} - {S_{CMN}} = 300 - 48 - 90 - 90 = 72\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\]

Lời giải

Chọn A

Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có số đo ba góc \(A,B,C\) tỉ lệ với các số \[3:2:5\].

nên có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) và \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{5}\].

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có \[\frac{{\widehat A}}{3} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{3 + 2 + 5}} = \frac{{180^\circ }}{{10}} = 18^\circ \].

Suy ra \(\widehat A = 3.18^\circ  = 54^\circ \).

Theo hệ quả góc nội tiếp ta có \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).

Do đó \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2.54^\circ  = 108^\circ \).