Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	\[\left[ {0;\,20} \right)\]	\[\left[ {20;\,40} \right)\]	\[\left[ {40;\,60} \right)\]	\[\left[ {60;\,80} \right)\]	\[\left[ {80;\,100} \right)\]
Số học sinh	5	9	12	10	6

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Phương trình parabol \(DC\)có dạng \({y_{DC}} = a{x^2} + c\)đi qua điểm\(D\left( {1,5;16} \right)\)và\(C\left( {3;13} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1,5} \right)}^2}a + c = 16}\\{{3^2}a + c = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{4}{9}}\\{c = 17}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_{DC}} =  - \frac{4}{9}{x^2} + 17 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {3;12,5} \right)\)và bán kính \(R = 0,5\)

\[{\left( {x - 3} \right)^3} + {\left( {y - 12,5} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3\]

Lượng sữa chua còn lại là :

\[V = \pi {.3^2}.12 + \pi \left[ {\int\limits_{12}^{13} {\left( { - \sqrt {\frac{1}{4} - {{\left( {y - 12,5} \right)}^2}}  + 3} \right)} \,dy + \int\limits_{13}^{14} {\left( {\frac{9}{4}.\left( {17 - y} \right)} \right)} \,dy} \right] \approx 385\](ml)

Xét mệnh đề a)

Từ phương trình \(m'\left( t \right) = k.m\left( t \right)\) ta có : \[\frac{{m'\left( t \right)}}{{m\left( t \right)}} = k \Rightarrow \int {\frac{1}{{m\left( t \right)}}dm = \int {kdt \Rightarrow \ln \left| {m\left( t \right)} \right| = kt + C} } \]

Vì \(m\left( t \right) > 0 \Rightarrow m\left( t \right) = {e^{kt + C}}\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Theo đề bài, tại \(t = 8\)ngày thì \(m\left( 8 \right) = 4\)và tại \(t = 16\)ngày thì \(m\left( {16} \right) = 2\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{e^{8k + C}} = 4\,\left( 1 \right)\\{e^{16k + C}} = 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy \(\frac{{\left( 2 \right)}}{{\left( 1 \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{e^{16k + C}}}}{{{e^{8k + C}}}} = \frac{2}{4} \Rightarrow {e^{8k}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Thay giá trị \(k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\)vào \(\left( 1 \right)\)ta được \[C = 3\ln 2\]nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Với \(k =  - \frac{{\ln 2}}{8}\)và \[C = 3\ln 2\], hàm số khối lượng là : \(m\left( t \right) = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{8}t + 3\ln 2}}\)

Tại thời điểm \(t = 24\)ngày: \(m\left( {24} \right) = {e^{ - \frac{{\ln 2}}{8}.24 + 3\ln 2}} = {e^0} = 1\,\left( {mg} \right)\, > 0,8\,\left( {mg} \right)\) nên mệnh đề d) sai