Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):y - 1 = 0\), đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và hai điểm \(A\left( { - 1; - 3;11} \right)\), \(B\left( {\frac{1}{2};0;8} \right)\). Hai điểm \(M,\;N\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(M\) luôn cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng \(2\) và \(NA = 2NB\). Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm \(M\) và \(N\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 1

Mặt phẳng \(\left( P \right):y - 1 = 0\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(Oxz\).

Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số:\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) là đường thẳng song song với trục \(Oy\).

Đường thẳng \(d\) vuông góc và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(I\left( {1;1;1} \right)\)

Gọi điểm \(M\left( {x;1;z} \right) \in \left( P \right)\).

\(d\left( {M,d} \right) = IM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - 1} \right)}^2}} \).

Ta có \(d\left( {M,d} \right) = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 1} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 1} \right)^2} = 4\).

Suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\) tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\), bán kính \({R_M} = 2\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Gọi \(N(x\,;1\,;z) \in \left( P \right)\).

Ta có \(NA = 2NB \Leftrightarrow N{A^2} = 4N{B^2}\).

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {1 + 3} \right)^2} + {\left( {z - 11} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {z - 8} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3{z^2} - 42z + 123 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\).

Suy ra điểm \(N\) thuộc đường tròn \(({C_N})\) tâm \({I_1}\left( {1;1;7} \right)\), bán kính \({R_N} = 3\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

\(I{I_1} = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}}  = 6 > {R_M} + {R_N}\).

Suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đường tròn là:

\(M{N_{\min }} = I{I_1} - {R_M} - {R_N} = 6 - 2 - 3 = 1\).

Vậy \(MN\) nhỏ nhất bằng 1.