Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):y - 1 = 0\), đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và hai điểm \(A\left( { - 1; - 3;11} \right)\), \(B\left( {\frac{1}{2};0;8} \right)\). Hai điểm \(M,\;N\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(M\) luôn cách đường thẳng \(d\) một khoảng bằng \(2\) và \(NA = 2NB\). Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm \(M\) và \(N\) bằng bao nhiêu?
Câu hỏi trong đề: Đề thi thử Toán Tốt nghiệp THPT 2025-2026 Bắc Ninh !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 1
Mặt phẳng \(\left( P \right):y - 1 = 0\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(Oxz\).
Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số:\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) là đường thẳng song song với trục \(Oy\).
Đường thẳng \(d\) vuông góc và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(I\left( {1;1;1} \right)\)
Gọi điểm \(M\left( {x;1;z} \right) \in \left( P \right)\).
\(d\left( {M,d} \right) = IM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - 1} \right)}^2}} \).
Ta có \(d\left( {M,d} \right) = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 1} \right)^2} + {\left( {{z_M} - 1} \right)^2} = 4\).
Suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\) tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\), bán kính \({R_M} = 2\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi \(N(x\,;1\,;z) \in \left( P \right)\).
Ta có \(NA = 2NB \Leftrightarrow N{A^2} = 4N{B^2}\).
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {1 + 3} \right)^2} + {\left( {z - 11} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {z - 8} \right)}^2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3{z^2} - 42z + 123 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\).
Suy ra điểm \(N\) thuộc đường tròn \(({C_N})\) tâm \({I_1}\left( {1;1;7} \right)\), bán kính \({R_N} = 3\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\(I{I_1} = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}} = 6 > {R_M} + {R_N}\).
Suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đường tròn là:
\(M{N_{\min }} = I{I_1} - {R_M} - {R_N} = 6 - 2 - 3 = 1\).
Vậy \(MN\) nhỏ nhất bằng 1.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 7,5.
Vì đường đi của khinh khí cầu là một phần của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\)
Mà đồ thị của hàm số\(f(x)\) đi qua các điểm \(O(0;0);\,A(8;0);\,I(6;4)\), do đó:
\(f(0) = 0\) nên \(c = 0\)
\(f(8) = 0\) nên \(b = - 8a\)
\(f(6) = 4\) và \(f'(6) = 0\) suy ra \(d = - 9;\,a = 1,\)do đó \(b = - 8.\)
Suy ra \(f(x) = \frac{{{x^2} - 8x}}{{x - 9}}\).
Tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất \[2500m{\rm{ }} = {\rm{ }}2,5{\rm{ }}km\]
Ta có: \(f(x) = 2,5\) ta ccó phương trình
\(\frac{{{x^2} - 8x}}{{x - 9}} = 2,5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 21x + 45 = 0\)\( \Rightarrow \,x = 3\) hoặc \(x = 7,5\)
Vì thời điểm hạ cánh là sau điểm hàm số đạt cực đại là \(x = 6\) nên ta nhận \(x = 7,5\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 75,3.
Gọi cạnh hình vuông là \(2a\).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, điểm \(A\left( {a;a} \right)\)
Ta có: \[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) + \frac{1}{4}\pi .{a^2} = {a^2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) = {a^2}.\left( {1 - \frac{\pi }{4}} \right)\] \[ \Leftrightarrow a = 5\].
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\), bán kính \(a\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)
Với \(y < 5 \Rightarrow y = f\left( x \right) = 5 - \sqrt {25 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^5 {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Vậy thể tích vật thể khi cho “tứ giác cong” \[MNPQ\] quay quanh trục \[NQ\] là:
\(V = 2{V_1} \approx 75,3\,\,d{m^2}\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập