Chọn ngẫu nhiên cặp số bất kỳ \(\left( {x,\,y} \right)\) thoả mãn \(x,\,y\) thuộc tập hợp \(\left\{ {2008;\,{{2008}^2};\,{{2008}^3};\,...;\,{{2008}^{24}};\,{{2008}^{25}}} \right\}\), xét biến cố \(A\)“\({\log _x}y\) có giá trị là một số nguyên”. Biết rằng xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{a}{b}\) (với \(a,\,b\) là các số nguyên dương, phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Tổng \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 7,5.

Vì đường đi của khinh khí cầu là một phần của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\)

Mà đồ thị của hàm số\(f(x)\) đi qua các điểm \(O(0;0);\,A(8;0);\,I(6;4)\), do đó:

\(f(0) = 0\) nên \(c = 0\)

\(f(8) = 0\) nên \(b =  - 8a\)

\(f(6) = 4\) và \(f'(6) = 0\) suy ra \(d =  - 9;\,a = 1,\)do đó \(b =  - 8.\)

Suy ra \(f(x) = \frac{{{x^2} - 8x}}{{x - 9}}\).

Tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất \[2500m{\rm{ }} = {\rm{ }}2,5{\rm{ }}km\]

Ta có: \(f(x) = 2,5\) ta ccó phương trình

\(\frac{{{x^2} - 8x}}{{x - 9}} = 2,5 \Leftrightarrow 2{x^2} - 21x + 45 = 0\)\( \Rightarrow \,x = 3\) hoặc \(x = 7,5\)

Vì thời điểm hạ cánh là sau điểm hàm số đạt cực đại là \(x = 6\) nên ta nhận \(x = 7,5\).

Đáp án: 75,3.

Gọi cạnh hình vuông là \(2a\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, điểm \(A\left( {a;a} \right)\)

Ta có: \[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) + \frac{1}{4}\pi .{a^2} = {a^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}.\left( {4 - \pi } \right) = {a^2}.\left( {1 - \frac{\pi }{4}} \right)\] \[ \Leftrightarrow a = 5\].

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\), bán kính \(a\) là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Với \(y < 5 \Rightarrow y = f\left( x \right) = 5 - \sqrt {25 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {V_1} = \pi \int\limits_0^5 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Vậy thể tích vật thể khi cho “tứ giác cong” \[MNPQ\] quay quanh trục \[NQ\] là:

\(V = 2{V_1} \approx 75,3\,\,d{m^2}\).