Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 25\) và đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {7;\,8;\,5} \right),\,B\left( {8;\,7;\,5} \right).\) Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục \(Oz\)) với phương vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

a) Mặt cầu \(\left( S \right):\) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 25\) có \(R = \sqrt {25}  = 5.\)

b) Tâm mặt cầu \(I\left( {1;\,2;\,5} \right)\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {7;\,8;\,5} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {u\,}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)\)

\(\overrightarrow {IA}  = \left( {6;\,6;\,0} \right)\)

Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ở vị trí ban đầu đến đường thẳng \(d\) là:

\(h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,\,\overrightarrow {u\,} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u\,} } \right|}} = \frac{{\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}6&0\\{ - 1}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&6\\0&1\end{array}} \right|,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}6&6\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right|}}{{\left| {\left( {1;\, - 1;\,0} \right)} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {0;\,0;\, - 12} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {1;\, - 1;\,0} \right)} \right|}} = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 .\)

c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {u\,}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\,0} \right).\)

d) Mặt cầu tịnh tiến đi lên theo trục \(Oz\) thì tâm \(I'\left( {1;\,2;\,m + 5} \right)\) với \(m > 0.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {7;\,8;\,5} \right),\,B\left( {8;\,7;\,5} \right).\) Nhận thấy cả hai điểm \(A\) và \(B\) đều có cao độ \(z = 5.\) Do đó, đường thẳng \(d\) nằm hoàn toàn trong mặt phẳng \(\left( P \right):\,z = 5.\) Mặt phẳng này song song với mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right).\)

Gọi \(h\) là khoảng cách từ tâm \(I'\) đến đường thẳng \(d.\) Vì \(d\) nằm trong mặt phẳng \(z = 5\) và tâm \(I'\)di chuyển trên đường thẳng đứng \(x = 1,\,y = 2\)

Khoảng cách hình chiếu từ \(I'\left( {1;\,2;\,5 + m} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right):\,z = 5\) là \(\left| {\left( {5 + m} \right) - 5} \right| = m\)

Khoảng cách từ tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ở vị trí ban đầu đến đường thẳng \(d\) bằng \(6\sqrt 2 .\)

Theo định lý Pitago trong không gian, \(d\left( {I',\,d} \right) = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I,\,d} \right)} \right]}^2} + {m^2}}  = \sqrt {{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} + {m^2}} \)

Để mặt cầu \(S\) tiếp xúc với đường thẳng \(d,\) khoảng cách từ tâm \(I'\) đến \(d\) phải đúng bằng bán kính mặt cầu \(R = 5.\)

\(\sqrt {{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} + {m^2}}  = 5\)

\( \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} + {m^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow 72 + {m^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow {m^2} =  - 47\) (vô lí)

Vậy trong suốt quá trình tịnh tiến đi lên, mặt cầu luôn cách đường thẳng \(d\) một khoảng lớn hơn bán kính, nên không bao giờ tiếp xúc với đường thẳng \(d.\)