Một hộp đựng 50 cái thẻ cùng loại, mỗi thẻ lần lượt được ghi một trong các số từ 50, 51, 52, …, 98, 99 (hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp nêu trên. Tính xác suất của biến cố A: “Số ghi trên thẻ rút được là một số chia cho 7 dư 1”.

a) Chỉ ra \(\widehat {ACH} = \widehat {AKH} = 90^\circ \)

Xét \[\Delta ACH\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (1)

Xét \[\Delta AKH\] vuông tại K nên ba điểm \[A,\,\,K,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \[A,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: KA.KB = KH.KD

Ta có: \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACB} = 90^\circ )\;\) và \(\widehat {KHB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {HKB} = 90^\circ )\)

Suy ra \(\widehat {CAB} = \;\widehat {KHB}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) hay \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\)

Chỉ ra: : \(\widehat {DKA} = \;\widehat {BKH = }90^\circ \) và \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\;\left( {cmt} \right)\)

Khi đó: \(\frac{{AK}}{{HK}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) suy ra AK.BK = HK.DK.

IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có \[OB = OC = R\] suy ra \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] nên \(\widehat {OCB} = \;\widehat {OBC}\)

Xét \[\Delta HCD\] vuông tại \[C\] và \[I\] là trung điểm của \[DH\] nên \[IC = DI = IH\].

Vì \[IC = IH\] nên \[\Delta ICH\] cân tại \[I\] nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {IHC}\).

Mà \(\widehat {IHC} = \;\widehat {KHB}\) (2 góc đối đỉnh) nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {KHB}\).

Do đó \(\widehat {ICO} = \;\widehat {ICH} + \widehat {OCB} = \widehat {KHB} + \widehat {OBC} = 90^\circ \;\)suy ra \[IC \bot OC.\]

Mà \[OC\] là bán kính của \[\left( O \right)\] nên \[IC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c)

Xét \[\Delta ICO\] vuông tại \[C\] và \[\Delta IKO\] vuông tại \[K.\]

Từ đó, bốn điểm \[I,\,\,C,\,\,K,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OI\].

Mà \[S\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ICK\] nên \[S\] là trung điểm của \[OI\].

Chỉ ra \[IP,\,\,OQ\] là các đường trung bình trong \[\Delta AHD\] và \[\Delta AHB\] nên \(IP = OQ = \frac{1}{2}AH\) và \[IP\,{\rm{//}}\,OQ.\]

Suy ra \[IPOQ\] là hình bình hành có \[OI,\,\,PQ\] là đường chéo.

Mà \[S\] là trung điểm của \[OI\] nên theo tính chất.

hình bình hành ta có \[S\] cũng là trung điểm của \[PQ\]. Khi đó, \[P,\,\,Q,\,\,S\] thẳng hàng.

a) Thay \[x = 36\] (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {36\;} - \;3}}{{\sqrt {36} \; + \;3}} = \frac{{6\; - \;3}}{{6\; + \;3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)

b) Với \(x \ge 0,\;x \ne 9\) ta có:

B = \(\frac{{\sqrt x \; + \;3}}{{\sqrt x \; - \;3}} - \frac{5}{{\sqrt x \; + \;3}} - \frac{{30}}{{x\; - \;9}}\)

= \(\frac{{{{\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{x\; + \;6\sqrt x \; + \;9\; - \;5\sqrt x \; + \;15\; - \;30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\) = \(\frac{{x\; + \;\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{x\; + \;3\sqrt x \; - \;2\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)= \(\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x \; + \;3} \right)\; - \;2\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{\left( {\sqrt x \; - \;2} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)= \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}\)

Vậy B = \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}\) với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9\].

c) Với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9,\] ta có:

\(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x \; - \;3}}{{\sqrt x \; + \;3}} \cdot \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}} = \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}.\)

Để \(\left| P \right| > P\) hay \(\left| {\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}} \right| > \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) khi và chỉ khi \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) < 0

Mà \(\sqrt x + 3\) \( \ge \) 3 > 0 với mọi \(x \ge 0,\;x \ne 9\) nên \(\sqrt x - 2\) < 0 hay x < 4.

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0,\;x \ne 9\) ta có 0 ≤ x < 4 thỏa mãn \(\left| P \right| > P\).

Khi đó giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P\) là x = 3 .

Vậy x = 3 là giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P\).