Một doanh nghiệp dự định sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\] thì doanh thu nhận được sau khi bán hết số sản phẩm đó là: \( - 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980\) (nghìn đồng). Trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(\frac{{20}}{x} + 100\) (nghìn đồng). Nếu muốn lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng thì doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm? Khi đó, lợi nhuận là bao nhiêu?

a) Chỉ ra \(\widehat {ACH} = \widehat {AKH} = 90^\circ \)

Xét \[\Delta ACH\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (1)

Xét \[\Delta AKH\] vuông tại K nên ba điểm \[A,\,\,K,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \[A,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: KA.KB = KH.KD

Ta có: \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACB} = 90^\circ )\;\) và \(\widehat {KHB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {HKB} = 90^\circ )\)

Suy ra \(\widehat {CAB} = \;\widehat {KHB}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) hay \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\)

Chỉ ra: : \(\widehat {DKA} = \;\widehat {BKH = }90^\circ \) và \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\;\left( {cmt} \right)\)

Khi đó: \(\frac{{AK}}{{HK}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) suy ra AK.BK = HK.DK.

IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có \[OB = OC = R\] suy ra \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] nên \(\widehat {OCB} = \;\widehat {OBC}\)

Xét \[\Delta HCD\] vuông tại \[C\] và \[I\] là trung điểm của \[DH\] nên \[IC = DI = IH\].

Vì \[IC = IH\] nên \[\Delta ICH\] cân tại \[I\] nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {IHC}\).

Mà \(\widehat {IHC} = \;\widehat {KHB}\) (2 góc đối đỉnh) nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {KHB}\).

Do đó \(\widehat {ICO} = \;\widehat {ICH} + \widehat {OCB} = \widehat {KHB} + \widehat {OBC} = 90^\circ \;\)suy ra \[IC \bot OC.\]

Mà \[OC\] là bán kính của \[\left( O \right)\] nên \[IC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c)

Xét \[\Delta ICO\] vuông tại \[C\] và \[\Delta IKO\] vuông tại \[K.\]

Từ đó, bốn điểm \[I,\,\,C,\,\,K,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OI\].

Mà \[S\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ICK\] nên \[S\] là trung điểm của \[OI\].

Chỉ ra \[IP,\,\,OQ\] là các đường trung bình trong \[\Delta AHD\] và \[\Delta AHB\] nên \(IP = OQ = \frac{1}{2}AH\) và \[IP\,{\rm{//}}\,OQ.\]

Suy ra \[IPOQ\] là hình bình hành có \[OI,\,\,PQ\] là đường chéo.

Mà \[S\] là trung điểm của \[OI\] nên theo tính chất.

hình bình hành ta có \[S\] cũng là trung điểm của \[PQ\]. Khi đó, \[P,\,\,Q,\,\,S\] thẳng hàng.

Gọi vận tốc xe máy điện của Nam thường ngày là x (km/h) (x > 0)

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là x + 6 (km/h)

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường thường ngày là \(\frac{{12}}{x}\) (giờ).

Đổi: 3 phút = \(\frac{1}{{20}}\) giờ.

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 3 km đầu là: \(\frac{3}{x}\) (giờ).

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 9 km còn lại là: \(\frac{9}{{x\; + \;6}}\) (giờ).

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường ngày hôm nay là: \(\frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}\) (giờ)

Vì sau khi tăng tốc, Nam vẫn đến trường đúng giờ nên ta có:

\(\frac{{12}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}\)

Giải phương trình tìm được x = 30 (TMĐK).

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là 30 + 6 = 36 (km/h).

Vì 36 km/h < 40 km/h nên bạn Nam không vi phạm luật giao thông.