Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên nửa đường tròn, lấy điểm \(C\) sao cho \(AC < BC\). Trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(H\) bất kỳ, gọi \(K\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) tới \(AB\).

(a) Chứng minh bốn điểm \(A,\,\,K,\,\,H,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn.

(b) Đường thẳng \(AC\) và đường thẳng \(HK\) cắt nhau tại \(D\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(DH\). Chứng minh rằng: \(KA.KB = KH.KD\) và \(IC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

(c) Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(HB\). Đặt \(S\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ICK.\) Chứng minh ba điểm \(P,\,\,Q,\,\,S\) thẳng hàng.

Gọi vận tốc xe máy điện của Nam thường ngày là x (km/h) (x > 0)

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là x + 6 (km/h)

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường thường ngày là \(\frac{{12}}{x}\) (giờ).

Đổi: 3 phút = \(\frac{1}{{20}}\) giờ.

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 3 km đầu là: \(\frac{3}{x}\) (giờ).

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 9 km còn lại là: \(\frac{9}{{x\; + \;6}}\) (giờ).

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường ngày hôm nay là: \(\frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}\) (giờ)

Vì sau khi tăng tốc, Nam vẫn đến trường đúng giờ nên ta có:

\(\frac{{12}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}\)

Giải phương trình tìm được x = 30 (TMĐK).

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là 30 + 6 = 36 (km/h).

Vì 36 km/h < 40 km/h nên bạn Nam không vi phạm luật giao thông.

Vì chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(\frac{{20}}{x} + 100\) (nghìn đồng) nên chi phí sản xuất mà doanh nghiệp phải chi trong một tháng là:

\(\left( {\frac{{20}}{x} + 100} \right).x = 20 + 100x\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp đạt được trong một tháng là:

\( - 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980 - \left( {20 + 100x} \right)\)

\( = - 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980 - 20 - 100x\)

\( = - 20{x^2} + 2100x - 20\,\,000\) (nghìn đồng)

Đổi: 10 triệu đồng = 10 000 nghìn đồng

Để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng (10 000 nghìn đồng) một tháng thì:

\( - 20{x^2} + 2100x - 20\,\,000 > 10\,\,000\)

\( - 20{x^2} + 2100x > 30\,\,000\)

\( - 20\left( {{x^2} - 105x} \right) > 30\,\,000\)

\( - 20\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{105}}{2}x\; + \;{{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2}} \right] > 30\,\,000\)

\( - 20\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{105}}{2}x\; + \;{{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2}} \right] + 20 \cdot {\left( {\frac{{105}}{2}} \right)^2} > 30\,\,000\)

\( - 20{\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} + 55\,\,125 > 30\,\,000\)

\( - 20{\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} > - 25\,\,125\)

\({\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} < \frac{{5025}}{4}\)

\(\frac{{ - \sqrt {5025} }}{2} < x - \frac{{105}}{2} < \frac{{\sqrt {5025} }}{2}\)

\(\frac{{105 - \sqrt {5025} }}{2} < x < \frac{{105 + \sqrt {5025} }}{2}\)

\(17,056 < x < 87,944\)

Vì \[x \in {\mathbb{N}^*}\]nên giá trị nhỏ nhất của x để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng là x = 18.

Khi đó, lợi nhuận của doanh nghiệp là:

\( - 20 \cdot {18^2} + 2100 \cdot 18 - 20\,\,000 = 11\,\,320\) (nghìn đồng) \[ = 11,32\] (triệu đồng).

Vậy để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng thì doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 18 sản phẩm. Khi đó, lợi nhuận là 11,32 triệu đồng.