Cho biểu thức: \(A = \;\frac{{\sqrt x \; - \;3}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x \; + \;3}}{{\sqrt x \; - \;3}} - \frac{5}{{\sqrt x \; + \;3}} - \frac{{30}}{{x\; - \;9}}\) với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9.\]

(a) Tính giá trị biểu thức A tại x = 36.

(b) Rút gọn biểu thức B.

(c) Với \(P = A.B.\) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P.\)

Gọi vận tốc xe máy điện của Nam thường ngày là x (km/h) (x > 0)

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là x + 6 (km/h)

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường thường ngày là \(\frac{{12}}{x}\) (giờ).

Đổi: 3 phút = \(\frac{1}{{20}}\) giờ.

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 3 km đầu là: \(\frac{3}{x}\) (giờ).

Ngày hôm nay, thời gian Nam đi 9 km còn lại là: \(\frac{9}{{x\; + \;6}}\) (giờ).

Thời gian Nam đi từ nhà đến trường ngày hôm nay là: \(\frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}\) (giờ)

Vì sau khi tăng tốc, Nam vẫn đến trường đúng giờ nên ta có:

\(\frac{{12}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{1}{{20}} + \frac{9}{{x\; + \;6}}\)

Giải phương trình tìm được x = 30 (TMĐK).

Khi đó, vận tốc xe máy điện của Nam khi tăng tốc là 30 + 6 = 36 (km/h).

Vì 36 km/h < 40 km/h nên bạn Nam không vi phạm luật giao thông.

a) Chỉ ra \(\widehat {ACH} = \widehat {AKH} = 90^\circ \)

Xét \[\Delta ACH\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (1)

Xét \[\Delta AKH\] vuông tại K nên ba điểm \[A,\,\,K,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \[A,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: KA.KB = KH.KD

Ta có: \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACB} = 90^\circ )\;\) và \(\widehat {KHB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {HKB} = 90^\circ )\)

Suy ra \(\widehat {CAB} = \;\widehat {KHB}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) hay \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\)

Chỉ ra: : \(\widehat {DKA} = \;\widehat {BKH = }90^\circ \) và \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\;\left( {cmt} \right)\)

Khi đó: \(\frac{{AK}}{{HK}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) suy ra AK.BK = HK.DK.

IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có \[OB = OC = R\] suy ra \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] nên \(\widehat {OCB} = \;\widehat {OBC}\)

Xét \[\Delta HCD\] vuông tại \[C\] và \[I\] là trung điểm của \[DH\] nên \[IC = DI = IH\].

Vì \[IC = IH\] nên \[\Delta ICH\] cân tại \[I\] nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {IHC}\).

Mà \(\widehat {IHC} = \;\widehat {KHB}\) (2 góc đối đỉnh) nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {KHB}\).

Do đó \(\widehat {ICO} = \;\widehat {ICH} + \widehat {OCB} = \widehat {KHB} + \widehat {OBC} = 90^\circ \;\)suy ra \[IC \bot OC.\]

Mà \[OC\] là bán kính của \[\left( O \right)\] nên \[IC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c)

Xét \[\Delta ICO\] vuông tại \[C\] và \[\Delta IKO\] vuông tại \[K.\]

Từ đó, bốn điểm \[I,\,\,C,\,\,K,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OI\].

Mà \[S\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ICK\] nên \[S\] là trung điểm của \[OI\].

Chỉ ra \[IP,\,\,OQ\] là các đường trung bình trong \[\Delta AHD\] và \[\Delta AHB\] nên \(IP = OQ = \frac{1}{2}AH\) và \[IP\,{\rm{//}}\,OQ.\]

Suy ra \[IPOQ\] là hình bình hành có \[OI,\,\,PQ\] là đường chéo.

Mà \[S\] là trung điểm của \[OI\] nên theo tính chất.

hình bình hành ta có \[S\] cũng là trung điểm của \[PQ\]. Khi đó, \[P,\,\,Q,\,\,S\] thẳng hàng.