Cho biểu thức: \(A = \;\frac{{\sqrt x \; - \;3}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x \; + \;3}}{{\sqrt x \; - \;3}} - \frac{5}{{\sqrt x \; + \;3}} - \frac{{30}}{{x\; - \;9}}\) với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9.\]

(a) Tính giá trị biểu thức A tại x = 36.

(b) Rút gọn biểu thức B.

(c) Với \(P = A.B.\) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P.\)

a) Chỉ ra \(\widehat {ACH} = \widehat {AKH} = 90^\circ \)

Xét \[\Delta ACH\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (1)

Xét \[\Delta AKH\] vuông tại K nên ba điểm \[A,\,\,K,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \[A,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: KA.KB = KH.KD

Ta có: \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACB} = 90^\circ )\;\) và \(\widehat {KHB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {HKB} = 90^\circ )\)

Suy ra \(\widehat {CAB} = \;\widehat {KHB}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) hay \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\)

Chỉ ra: : \(\widehat {DKA} = \;\widehat {BKH = }90^\circ \) và \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\;\left( {cmt} \right)\)

Khi đó: \(\frac{{AK}}{{HK}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) suy ra AK.BK = HK.DK.

IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có \[OB = OC = R\] suy ra \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] nên \(\widehat {OCB} = \;\widehat {OBC}\)

Xét \[\Delta HCD\] vuông tại \[C\] và \[I\] là trung điểm của \[DH\] nên \[IC = DI = IH\].

Vì \[IC = IH\] nên \[\Delta ICH\] cân tại \[I\] nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {IHC}\).

Mà \(\widehat {IHC} = \;\widehat {KHB}\) (2 góc đối đỉnh) nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {KHB}\).

Do đó \(\widehat {ICO} = \;\widehat {ICH} + \widehat {OCB} = \widehat {KHB} + \widehat {OBC} = 90^\circ \;\)suy ra \[IC \bot OC.\]

Mà \[OC\] là bán kính của \[\left( O \right)\] nên \[IC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c)

Xét \[\Delta ICO\] vuông tại \[C\] và \[\Delta IKO\] vuông tại \[K.\]

Từ đó, bốn điểm \[I,\,\,C,\,\,K,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OI\].

Mà \[S\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ICK\] nên \[S\] là trung điểm của \[OI\].

Chỉ ra \[IP,\,\,OQ\] là các đường trung bình trong \[\Delta AHD\] và \[\Delta AHB\] nên \(IP = OQ = \frac{1}{2}AH\) và \[IP\,{\rm{//}}\,OQ.\]

Suy ra \[IPOQ\] là hình bình hành có \[OI,\,\,PQ\] là đường chéo.

Mà \[S\] là trung điểm của \[OI\] nên theo tính chất.

hình bình hành ta có \[S\] cũng là trung điểm của \[PQ\]. Khi đó, \[P,\,\,Q,\,\,S\] thẳng hàng.

Vì chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(\frac{{20}}{x} + 100\) (nghìn đồng) nên chi phí sản xuất mà doanh nghiệp phải chi trong một tháng là:

\(\left( {\frac{{20}}{x} + 100} \right).x = 20 + 100x\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp đạt được trong một tháng là:

\( - 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980 - \left( {20 + 100x} \right)\)

\( = - 20{x^2} + 2200x - 19\,\,980 - 20 - 100x\)

\( = - 20{x^2} + 2100x - 20\,\,000\) (nghìn đồng)

Đổi: 10 triệu đồng = 10 000 nghìn đồng

Để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng (10 000 nghìn đồng) một tháng thì:

\( - 20{x^2} + 2100x - 20\,\,000 > 10\,\,000\)

\( - 20{x^2} + 2100x > 30\,\,000\)

\( - 20\left( {{x^2} - 105x} \right) > 30\,\,000\)

\( - 20\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{105}}{2}x\; + \;{{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2}} \right] > 30\,\,000\)

\( - 20\left[ {{x^2} - 2 \cdot \frac{{105}}{2}x\; + \;{{\left( {\frac{{105}}{2}} \right)}^2}} \right] + 20 \cdot {\left( {\frac{{105}}{2}} \right)^2} > 30\,\,000\)

\( - 20{\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} + 55\,\,125 > 30\,\,000\)

\( - 20{\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} > - 25\,\,125\)

\({\left( {x - \frac{{105}}{2}\;} \right)^2} < \frac{{5025}}{4}\)

\(\frac{{ - \sqrt {5025} }}{2} < x - \frac{{105}}{2} < \frac{{\sqrt {5025} }}{2}\)

\(\frac{{105 - \sqrt {5025} }}{2} < x < \frac{{105 + \sqrt {5025} }}{2}\)

\(17,056 < x < 87,944\)

Vì \[x \in {\mathbb{N}^*}\]nên giá trị nhỏ nhất của x để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng là x = 18.

Khi đó, lợi nhuận của doanh nghiệp là:

\( - 20 \cdot {18^2} + 2100 \cdot 18 - 20\,\,000 = 11\,\,320\) (nghìn đồng) \[ = 11,32\] (triệu đồng).

Vậy để lợi nhuận đạt trên 10 triệu đồng một tháng thì doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 18 sản phẩm. Khi đó, lợi nhuận là 11,32 triệu đồng.