Hàng ngày, bạn Nam đi học từ nhà đến trường trên quãng đường 12 km bằng xe máy điện với vận tốc không đổi. Hôm nay, vẫn trên đoạn đường đó, 3 km đầu bạn Nam đi với vận tốc như thường ngày, sau đó vì xe non hơi nên bạn đã dừng lại 3 phút để bơm. Để đến trường đúng giờ, bạn Nam phải tăng vận tốc lên thêm 6 km/h. Tính vận tốc xe máy điện của bạn Nam khi tăng tốc. Với vận tốc đó, bạn Nam có vi phạm luật giao thông hay không? Tại sao? Biết rằng đoạn đường bạn Nam đi giới hạn tốc độ tối đa là 40 km/h.

a) Chỉ ra \(\widehat {ACH} = \widehat {AKH} = 90^\circ \)

Xét \[\Delta ACH\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[A,\,\,C,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (1)

Xét \[\Delta AKH\] vuông tại K nên ba điểm \[A,\,\,K,\,\,H\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[AH\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm \[A,\,\,C,\,\,H,\,\,K\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: KA.KB = KH.KD

Ta có: \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {ACB} = 90^\circ )\;\) và \(\widehat {KHB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (\(\widehat {HKB} = 90^\circ )\)

Suy ra \(\widehat {CAB} = \;\widehat {KHB}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) hay \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\)

Chỉ ra: : \(\widehat {DKA} = \;\widehat {BKH = }90^\circ \) và \(\widehat {DAK} = \;\widehat {KHB}\;\left( {cmt} \right)\)

Khi đó: \(\frac{{AK}}{{HK}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) suy ra AK.BK = HK.DK.

IC là tiếp tuyến của (O)

Ta có \[OB = OC = R\] suy ra \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] nên \(\widehat {OCB} = \;\widehat {OBC}\)

Xét \[\Delta HCD\] vuông tại \[C\] và \[I\] là trung điểm của \[DH\] nên \[IC = DI = IH\].

Vì \[IC = IH\] nên \[\Delta ICH\] cân tại \[I\] nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {IHC}\).

Mà \(\widehat {IHC} = \;\widehat {KHB}\) (2 góc đối đỉnh) nên \(\widehat {ICH} = \;\widehat {KHB}\).

Do đó \(\widehat {ICO} = \;\widehat {ICH} + \widehat {OCB} = \widehat {KHB} + \widehat {OBC} = 90^\circ \;\)suy ra \[IC \bot OC.\]

Mà \[OC\] là bán kính của \[\left( O \right)\] nên \[IC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].

c)

Xét \[\Delta ICO\] vuông tại \[C\] và \[\Delta IKO\] vuông tại \[K.\]

Từ đó, bốn điểm \[I,\,\,C,\,\,K,\,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[OI\].

Mà \[S\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ICK\] nên \[S\] là trung điểm của \[OI\].

Chỉ ra \[IP,\,\,OQ\] là các đường trung bình trong \[\Delta AHD\] và \[\Delta AHB\] nên \(IP = OQ = \frac{1}{2}AH\) và \[IP\,{\rm{//}}\,OQ.\]

Suy ra \[IPOQ\] là hình bình hành có \[OI,\,\,PQ\] là đường chéo.

Mà \[S\] là trung điểm của \[OI\] nên theo tính chất.

hình bình hành ta có \[S\] cũng là trung điểm của \[PQ\]. Khi đó, \[P,\,\,Q,\,\,S\] thẳng hàng.

a) Thay \[x = 36\] (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {36\;} - \;3}}{{\sqrt {36} \; + \;3}} = \frac{{6\; - \;3}}{{6\; + \;3}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)

b) Với \(x \ge 0,\;x \ne 9\) ta có:

B = \(\frac{{\sqrt x \; + \;3}}{{\sqrt x \; - \;3}} - \frac{5}{{\sqrt x \; + \;3}} - \frac{{30}}{{x\; - \;9}}\)

= \(\frac{{{{\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}} - \frac{{30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{x\; + \;6\sqrt x \; + \;9\; - \;5\sqrt x \; + \;15\; - \;30}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\) = \(\frac{{x\; + \;\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{x\; + \;3\sqrt x \; - \;2\sqrt x \; - \;6}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)= \(\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x \; + \;3} \right)\; - \;2\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)

= \(\frac{{\left( {\sqrt x \; - \;2} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}{{\left( {\sqrt x \; - \;3} \right)\left( {\sqrt x \; + \;3} \right)}}\)= \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}\)

Vậy B = \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}}\) với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9\].

c) Với \[x \ge 0,\,\,\;x \ne 9,\] ta có:

\(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x \; - \;3}}{{\sqrt x \; + \;3}} \cdot \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; - \;3}} = \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}.\)

Để \(\left| P \right| > P\) hay \(\left| {\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}} \right| > \frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) khi và chỉ khi \(\frac{{\sqrt x \; - \;2}}{{\sqrt x \; + \;3}}\) < 0

Mà \(\sqrt x + 3\) \( \ge \) 3 > 0 với mọi \(x \ge 0,\;x \ne 9\) nên \(\sqrt x - 2\) < 0 hay x < 4.

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0,\;x \ne 9\) ta có 0 ≤ x < 4 thỏa mãn \(\left| P \right| > P\).

Khi đó giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P\) là x = 3 .

Vậy x = 3 là giá trị nguyên lớn nhất của x để \(\left| P \right| > P\).