(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\]  và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{8}{{4 - x}}\] với \[x \ge 0,x \ne 4\].

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 16\].

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\].

3) Tìm \[M = \frac{{3A}}{B}\]. Chứng minh rằng \[M\] có giá trị không phải là số nguyên.

1) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn ĐK ) vào biểu thức \(A\) được:

                         \(A = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16}  + 3}} = \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{4}{7}\)

Vậy khi \(x = 16\) thì \(A = \frac{4}{7}\)

2)   Có \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{4}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{8}{{4 - x}}\]  với \[x \ge 0,x \ne 4\].

\[B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) - 4\left( {\sqrt x  - 2} \right) - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\[B = \frac{{x + 2\sqrt x  - 4\sqrt x  + 8 - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\[B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\] (điều phải chứng minh)

3)   Có \[M = 3\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{3\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  + 3}}\]  với \[x > 0,x \ne 4\].

\[M = \frac{{3\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  + 3}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\]

Ta có: \[x > 0 \Rightarrow \sqrt x  > 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 > 3 \Rightarrow  - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} >  - 1 \Rightarrow 3 - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} > 2\]

Suy ra \[M > 2\] \[\left( 1 \right)\]

Mặt khác : \[x > 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 > 0 \Rightarrow  - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} < 0 \Rightarrow 3 - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}} < 3\]

Suy ra \[M < 3\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\], \[\left( 2 \right)\] suy ra \[2 < M < 3\]

Nên \[M\] có giá trị không phải là số nguyên.