Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(OABC.DEGH\), với \(O\) là gốc tọa độ. Biết \(A\left( {3;0;0} \right),\) \(C\left( {0;2;0} \right)\), \(D\left( {0;0;4} \right)\).

Phân tích vị trí các đỉnh dựa trên hệ trục tọa độ của hình hộp chữ nhật \(OABC.DEGH\) gốc \(O\):

\(A \in Ox \Rightarrow OA\) là chiều dài cạnh theo trục \(Ox\). Do đó các đỉnh đối diện sẽ có hoành độ bằng 3.

\(C \in Oy \Rightarrow OC\) là chiều dài cạnh theo trục \(Oy\).

\(D \in Oz \Rightarrow OD\) là chiều dài cạnh theo trục \(Oz\).

Suy ra tọa độ các đỉnh còn lại: \(B\left( {3;2;0} \right)\), \(E\left( {3;0;4} \right)\), \(H\left( {0;2;4} \right)\), \(G\left( {3;2;4} \right)\).

Ý a): Sai. Ta có \(E\left( {3;0;4} \right)\) và \(A\left( {3;0;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {3 - 3;0 - 0;4 - 0} \right) = \left( {0;0;4} \right)\).

Ý b): Đúng. Tọa độ điểm \(G\left( {3;2;4} \right) \Rightarrow OG = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {9 + 4 + 16} = \sqrt {29} \).

Ý c): Đúng. Điểm \(E\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), có hình chiếu lên \(Ox\) là \(A\left( {3;0;0} \right)\) và lên \(Oz\) là \(D\left( {0;0;4} \right)\) suy ra \(E\left( {3;0;4} \right)\).

Ý d): Sai. Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {IH} = \overrightarrow 0 \).

Tọa độ của \(I\) là trung bình cộng tọa độ 4 điểm \(D,E,G,H\).

Ta có \({x_I} = \frac{{0 + 3 + 3 + 0}}{4} = \frac{6}{4} = 1,5\); \({y_I} = \frac{{0 + 0 + 2 + 2}}{4} = \frac{4}{4} = 1\); \({z_I} = \frac{{4 + 4 + 4 + 4}}{4} = 4\). Do đó \(I\left( {1,5;1;4} \right)\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {KD} + \overrightarrow {KE} + \overrightarrow {KG} + \overrightarrow {KH} } \right| = \left| {4\overrightarrow {KI} } \right| = 4KI\).

Độ dài biểu thức nhỏ nhất khi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {OABC} \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Do đó hình chiếu \(K\) của \(I\left( {1,5;1;4} \right)\) lên mặt phẳng này phải có tọa độ là \(K\left( {1,5;1;0} \right) \ne \left( {2;1;0} \right)\).