Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \).

a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 24\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 24\).

b) Đúng. Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Sai. Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} + {6^2} - 2 \cdot 24 = 32 + 36 - 48 = 20\)\( \Rightarrow BC = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

Để \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

          \( \Leftrightarrow \frac{k}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{k}{2}A{C^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).

Thay \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 24\), \(A{B^2} = 32\), \(A{C^2} = 36\) nên \(\frac{k}{2} \cdot 24 - \frac{1}{2} \cdot 32 + \frac{k}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 24 = 0\)

\( \Leftrightarrow 12k - 16 + 18k - 12 = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{28}}{{30}} = \frac{{14}}{{15}}\).

a) Đúng. Quan sát mẫu số liệu ở nhà máy A, ta thấy giá trị \(4\) và \(5\) đều xuất hiện 3 lần, là nhiều nhất.

Vậy mốt là \({M_0} \in \left\{ {4;5} \right\}\).

b) Sai. Ở nhà máy B, \({x_{{\rm{max}}}} = 11\), \({x_{{\rm{min}}}} = 2\). Khoảng biến thiên \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 11 - 2 = 9\).

c) Đúng. Số trung bình của nhà máy A là: \({\bar x_A} = \frac{{4 + 5 + 5 + 47 + 5 + 6 + 4 + 4}}{8} = 10\).

d) Đúng. Sắp xếp số liệu nhà máy B: \(2,8,9,9,9,9,9,10,11\). (\(n = 9\)).

• Trung vị \({Q_2} = 9\).
• Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung bình của \(8\) và \(9\) \( \Rightarrow {Q_1} = \frac{{8 + 9}}{2} = 8,5\).
• Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung bình của \(9\) và \(10\) \( \Rightarrow {Q_3} = \frac{{9 + 10}}{2} = 9,5\).
• Khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9,5 - 8,5 = 1\).