Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình b).

Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án đúng là: A

Ta có 135 phút = \(\frac{9}{4}\) giờ

Đặt BM = x (km), (0 ≤ x ≤ 7).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{x^2} + 25} \left( {km} \right)\\MC = 7-x \left( {km} \right)\end{array} \right..\)

Thời gian chèo đò từ A đến M là: \({t_{AM}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4}\) (h).

Thời gian đi bộ từ M đến C là: \({t_{MC}} = \frac{{7-x}}{6}\) (h).

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là:

t_AM + t_MC = t (h).

Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7-x}}{6} = \frac{9}{4} \]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} + 2\left( {7-x} \right) = 27\]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} = 13 + 2x\] (1)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

9(x² + 25) = (13 + 2x)²

⇔ 9x² + 225 = 169 + 52x + 4x²

⇔ 5x² - 52x + 56 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{26 - 6\sqrt {11} }}{5} \approx 1,22\\x = \frac{{26 + 6\sqrt {11} }}{5} \approx 9,18\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\]

Thay x = 1,22 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn)

Vậy vị trí của điểm M cách B một khoảng 1,22 km.

Đáp án đúng là: D

Đổi 148 phút = \(\frac{{37}}{{15}}\) giờ. 

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0). 

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC - BM = 7 - x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x² 

\[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km).

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là \[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km) và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là \[{t_1} = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\] (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 - x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là \[{t_2} = \frac{{7-x}}{5}\] (giờ). 

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = \(\frac{{37}}{{15}}\) (giờ). 

Khi đó ta có phương trình: 

\[\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7-x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3\left( {7-x} \right) = 37\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\] (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(16 + x²) = (16 + 3x)² 

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x² 

⇔ 16x² - 96x + 144 = 0 

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.