Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như hình vẽ.

Biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút, khoảng cách từ vị trí B đến M là

Đáp án đúng là: A

Ta có 135 phút = \(\frac{9}{4}\) giờ

Đặt BM = x (km), (0 ≤ x ≤ 7).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{x^2} + 25} \left( {km} \right)\\MC = 7-x \left( {km} \right)\end{array} \right..\)

Thời gian chèo đò từ A đến M là: \({t_{AM}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4}\) (h).

Thời gian đi bộ từ M đến C là: \({t_{MC}} = \frac{{7-x}}{6}\) (h).

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là:

t_AM + t_MC = t (h).

Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7-x}}{6} = \frac{9}{4} \]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} + 2\left( {7-x} \right) = 27\]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} = 13 + 2x\] (1)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

9(x² + 25) = (13 + 2x)²

⇔ 9x² + 225 = 169 + 52x + 4x²

⇔ 5x² - 52x + 56 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{26 - 6\sqrt {11} }}{5} \approx 1,22\\x = \frac{{26 + 6\sqrt {11} }}{5} \approx 9,18\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\]

Thay x = 1,22 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn)

Vậy vị trí của điểm M cách B một khoảng 1,22 km.

Đáp án đúng là: C

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0). 

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m). 

Quan sát Hình a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC² 

Suy ra: BC² = AB² - AC² = (x + 1)² - x² = 2x + 1 (m). \[BC = \sqrt {2x + 1} \,\] (m)

Quan sát Hình b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m). 

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC - 0,5.

Suy ra \[GE = \sqrt {2x + 1} -0,5\,\](m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có: \[tan\widehat {DEG} = \frac{{DG}}{{GE}}\]

Mà \[\widehat {DEG} = 60^\circ ,\] DG = x, \[GE = \sqrt {2x + 1} -0,5\]

Do đó:

\[\frac{x}{{\sqrt {2x + 1} -0,5}} = tan60^\circ = \sqrt 3 \]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {\sqrt {2x + 1} -0,5} \right) = x\]

\[ \Leftrightarrow x = \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} -\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} = x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\]

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\[3\left( {2x + 1} \right) = {\left( {x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\\x \approx - 0,5\end{array} \right.\]

Do x > 0 nên ta chỉ thay x ≈ 4,7 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.