Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 (km) Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 (km/h).

Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất với giá trị nào sau đây biết thời gian người đó đi từ A đến C là 135 phút?

Đáp án đúng là: D

Đổi 148 phút = \(\frac{{37}}{{15}}\) giờ. 

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0). 

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC - BM = 7 - x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x² 

\[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km).

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là \[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km) và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là \[{t_1} = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\] (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 - x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là \[{t_2} = \frac{{7-x}}{5}\] (giờ). 

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = \(\frac{{37}}{{15}}\) (giờ). 

Khi đó ta có phương trình: 

\[\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7-x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3\left( {7-x} \right) = 37\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\] (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(16 + x²) = (16 + 3x)² 

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x² 

⇔ 16x² - 96x + 144 = 0 

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí Côsin, ta có:

MB² = OM² + OB² - 2.OM.OB.\(cos\widehat {BOM}\)

⇔ MB² = x² + 2² - 2.x.2.cos60°

\[ \Leftrightarrow MB = \sqrt {{x^2}-2x + 4} \] (km)

Ta lại có: \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {AOM} = 180^\circ -\widehat {BOM} = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ \).

Xét tam giác MOA, áp dụng định lí Côsin, ta có:

MA² = OM² + OA² - 2.OM.OA.\(cos\widehat {AOM}\)

⇔ MA² = x² + 1² - 2.x.1.cos120°

⇔ MA² = x² + 1 + x

\( \Leftrightarrow MA = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) (km)

Để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A thì

\(\sqrt {{x^2}-2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x² - 2x + 4 = \(\frac{{16}}{{25}}\)(x² + x + 1)

⇔ 25x² - 50x + 100 = 16x² + 16x + 16

⇔ 9x² - 66x + 84 = 0

\( \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {37} }}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với \(x = \frac{{11-\sqrt {37} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\) thì khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A.