Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 (km) Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 (km/h).

Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất với giá trị nào sau đây biết thời gian người đó đi từ A đến C là 135 phút?

Đáp án đúng là: D

Đổi 148 phút = \(\frac{{37}}{{15}}\) giờ. 

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0). 

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC - BM = 7 - x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x² 

\[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km).

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là \[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km) và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là \[{t_1} = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\] (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 - x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là \[{t_2} = \frac{{7-x}}{5}\] (giờ). 

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = \(\frac{{37}}{{15}}\) (giờ). 

Khi đó ta có phương trình: 

\[\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7-x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3\left( {7-x} \right) = 37\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\] (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(16 + x²) = (16 + 3x)² 

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x² 

⇔ 16x² - 96x + 144 = 0 

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.

Đáp án đúng là: C

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0). 

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m). 

Quan sát Hình a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB² = AC² + BC² 

Suy ra: BC² = AB² - AC² = (x + 1)² - x² = 2x + 1 (m). \[BC = \sqrt {2x + 1} \,\] (m)

Quan sát Hình b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m). 

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC - 0,5.

Suy ra \[GE = \sqrt {2x + 1} -0,5\,\](m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có: \[tan\widehat {DEG} = \frac{{DG}}{{GE}}\]

Mà \[\widehat {DEG} = 60^\circ ,\] DG = x, \[GE = \sqrt {2x + 1} -0,5\]

Do đó:

\[\frac{x}{{\sqrt {2x + 1} -0,5}} = tan60^\circ = \sqrt 3 \]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {\sqrt {2x + 1} -0,5} \right) = x\]

\[ \Leftrightarrow x = \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} -\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} = x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\]

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\[3\left( {2x + 1} \right) = {\left( {x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\\x \approx - 0,5\end{array} \right.\]

Do x > 0 nên ta chỉ thay x ≈ 4,7 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.