Khoảng cách từ nhà An ở vị trí A đến nhà Bình là 200 m. Từ nhà, nếu An đi x mét theo phương tạo với AB một góc 120° thì sẽ đến nhà bác Mai ở vị trí M và nếu đi thêm 300 m nữa thì sẽ đến siêu thị ở vị trí S.

Biết rằng quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai. Khi đó quãng đường từ nhà An đến nhà bác Mai là

Đáp án đúng là: A

Ta có 135 phút = \(\frac{9}{4}\) giờ

Đặt BM = x (km), (0 ≤ x ≤ 7).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{x^2} + 25} \left( {km} \right)\\MC = 7-x \left( {km} \right)\end{array} \right..\)

Thời gian chèo đò từ A đến M là: \({t_{AM}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4}\) (h).

Thời gian đi bộ từ M đến C là: \({t_{MC}} = \frac{{7-x}}{6}\) (h).

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là:

t_AM + t_MC = t (h).

Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7-x}}{6} = \frac{9}{4} \]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} + 2\left( {7-x} \right) = 27\]

\[ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} = 13 + 2x\] (1)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

9(x² + 25) = (13 + 2x)²

⇔ 9x² + 225 = 169 + 52x + 4x²

⇔ 5x² - 52x + 56 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{26 - 6\sqrt {11} }}{5} \approx 1,22\\x = \frac{{26 + 6\sqrt {11} }}{5} \approx 9,18\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\]

Thay x = 1,22 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn)

Vậy vị trí của điểm M cách B một khoảng 1,22 km.

Đáp án đúng là: D

Đổi 148 phút = \(\frac{{37}}{{15}}\) giờ. 

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0). 

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC - BM = 7 - x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

AM² = AB² + BM² = 4² + x² = 16 + x² 

\[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km).

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là \[AM = \sqrt {16 + {x^2}} \] (km) và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là \[{t_1} = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\] (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 - x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là \[{t_2} = \frac{{7-x}}{5}\] (giờ). 

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t₁ + t₂ = t = \(\frac{{37}}{{15}}\) (giờ). 

Khi đó ta có phương trình: 

\[\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7-x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3\left( {7-x} \right) = 37\]

\[ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\] (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(16 + x²) = (16 + 3x)² 

⇔ 400 + 25x² = 256 + 96x + 9x² 

⇔ 16x² - 96x + 144 = 0 

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.