Cho  có \(AB = 5{\rm{\;cm}}\), \(AC = 8{\rm{\;cm}}\), \(\hat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).

Ta có \(DB = h\) (m).

Trong tam giác vuông \(DBC\): \(BC = \frac{h}{{\tan 42^\circ }}\).

Trong tam giác vuông \(DBA\): \(AB = \frac{h}{{\tan 32^\circ }}\).

Vì \(A,C,B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, ta có:

\(AC = AB - BC \Rightarrow h\left( {\frac{1}{{\tan 32^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}} \right) = 12\)\( \Rightarrow h = \frac{{12}}{{\frac{1}{{\tan 32^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}}} \approx 24,5{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp số: \(24,5\).

a) Vì \(I\) thuộc cạnh \(BC\) và \(IB = 3IC\) nên \(\overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \). Khi đó:

\(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

b) Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Vì \(J\) thuộc cạnh \(AC\) và \(JA = 2JC\) nên \(AJ = \frac{2}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AJ}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Do đó: \(\overrightarrow {KJ}  = \overrightarrow {AJ}  - \overrightarrow {AK}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) Vì \(H \in AI\) nên tồn tại \(k \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {AH}  = k\overrightarrow {AI} \).

Do đó \(\overrightarrow {AH}  = k\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{k}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{{3k}}{4}\overrightarrow {AC} \).

Mặt khác, \(H \in KJ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {KH} \) và \(\overrightarrow {KJ} \) cùng phương.

Ta có: \(\overrightarrow {KH}  = \overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AK}  = \left( {\frac{k}{4} - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{{3k}}{4}\overrightarrow {AC} \).

Do \(\overrightarrow {KH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {KJ}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) nên tồn tại \(m \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {KH}  = m\overrightarrow {KJ} \), tức là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{k}{4} - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2}m}\\{\frac{{3k}}{4} = \frac{2}{3}m}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình thứ hai suy ra \(m = \frac{9}{8}k\).

Thế vào phương trình thứ nhất: \(\frac{k}{4} - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{9}{8}k} \right) \Rightarrow \frac{k}{4} + \frac{{9k}}{{16}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{13k}}{{16}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{8}{{13}}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \frac{8}{{13}}\overrightarrow {AI} \).

Với \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( { - 1;4} \right)\) ta có \(\overrightarrow {AI}  = \left( { - 1 - 2;4 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;6} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{8}{{13}}\left( { - 3;6} \right) = \left( { - \frac{{24}}{{13}};\frac{{48}}{{13}}} \right)\).

Tọa độ điểm \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_H} = 2 - \frac{{24}}{{13}} = \frac{2}{{13}}}\\{{y_H} =  - 2 + \frac{{48}}{{13}} = \frac{{22}}{{13}}}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(H\) là \(H\left( {\frac{2}{{13}};\frac{{22}}{{13}}} \right)\).