PHẦN III. Trả lời ngắn (2,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Để đo chiều cao của một tòa nhà, người ta chọn hai điểm \(A\) và \(C\) thẳng hàng với chân \(B\) của tòa nhà, biết \(AC = 12{\rm{\;m}}\). Sử dụng giác kế, từ \(A\) và \(C\) tương ứng nhìn thấy đỉnh \(D\) của tòa nhà dưới các góc \(32^\circ \) và \(42^\circ \) so với phương nằm ngang. Hỏi chiều cao của tòa nhà đo được là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\)

\(B{C^2} = {5^2} + {8^2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ  = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 49\)

\( \Rightarrow BC = \sqrt {49}  = 7{\rm{\;cm}}\).

Chọn A.

a) Vì \(I\) thuộc cạnh \(BC\) và \(IB = 3IC\) nên \(\overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \). Khi đó:

\(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

b) Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Vì \(J\) thuộc cạnh \(AC\) và \(JA = 2JC\) nên \(AJ = \frac{2}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AJ}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Do đó: \(\overrightarrow {KJ}  = \overrightarrow {AJ}  - \overrightarrow {AK}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) Vì \(H \in AI\) nên tồn tại \(k \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {AH}  = k\overrightarrow {AI} \).

Do đó \(\overrightarrow {AH}  = k\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{k}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{{3k}}{4}\overrightarrow {AC} \).

Mặt khác, \(H \in KJ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {KH} \) và \(\overrightarrow {KJ} \) cùng phương.

Ta có: \(\overrightarrow {KH}  = \overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AK}  = \left( {\frac{k}{4} - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{{3k}}{4}\overrightarrow {AC} \).

Do \(\overrightarrow {KH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {KJ}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) nên tồn tại \(m \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {KH}  = m\overrightarrow {KJ} \), tức là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{k}{4} - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2}m}\\{\frac{{3k}}{4} = \frac{2}{3}m}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình thứ hai suy ra \(m = \frac{9}{8}k\).

Thế vào phương trình thứ nhất: \(\frac{k}{4} - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{9}{8}k} \right) \Rightarrow \frac{k}{4} + \frac{{9k}}{{16}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{13k}}{{16}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{8}{{13}}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \frac{8}{{13}}\overrightarrow {AI} \).

Với \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( { - 1;4} \right)\) ta có \(\overrightarrow {AI}  = \left( { - 1 - 2;4 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;6} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{8}{{13}}\left( { - 3;6} \right) = \left( { - \frac{{24}}{{13}};\frac{{48}}{{13}}} \right)\).

Tọa độ điểm \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_H} = 2 - \frac{{24}}{{13}} = \frac{2}{{13}}}\\{{y_H} =  - 2 + \frac{{48}}{{13}} = \frac{{22}}{{13}}}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(H\) là \(H\left( {\frac{2}{{13}};\frac{{22}}{{13}}} \right)\).