(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Gọi hai điểm \(I,J\) lần lượt thuộc hai cạnh \(BC,CA\) sao cho \(IB = 3IC\), \(JA = 2JC\) và \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).

b) Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {KJ} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

c) Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(KJ\) và \(AI\). Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), giả sử \(A\left( {2; - 2} \right)\), \(I\left( { - 1;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(H\).

a) Vì \(I\) thuộc cạnh \(BC\) và \(IB = 3IC\) nên \(\overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \). Khi đó:

\(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

b) Vì \(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Vì \(J\) thuộc cạnh \(AC\) và \(JA = 2JC\) nên \(AJ = \frac{2}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AJ}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Do đó: \(\overrightarrow {KJ}  = \overrightarrow {AJ}  - \overrightarrow {AK}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) Vì \(H \in AI\) nên tồn tại \(k \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {AH}  = k\overrightarrow {AI} \).

Do đó \(\overrightarrow {AH}  = k\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{k}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{{3k}}{4}\overrightarrow {AC} \).

Mặt khác, \(H \in KJ\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {KH} \) và \(\overrightarrow {KJ} \) cùng phương.

Ta có: \(\overrightarrow {KH}  = \overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AK}  = \left( {\frac{k}{4} - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{{3k}}{4}\overrightarrow {AC} \).

Do \(\overrightarrow {KH} \) cùng phương với \(\overrightarrow {KJ}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) nên tồn tại \(m \in \mathbb{R}\) sao cho \(\overrightarrow {KH}  = m\overrightarrow {KJ} \), tức là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{k}{4} - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2}m}\\{\frac{{3k}}{4} = \frac{2}{3}m}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình thứ hai suy ra \(m = \frac{9}{8}k\).

Thế vào phương trình thứ nhất: \(\frac{k}{4} - \frac{1}{2} =  - \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{9}{8}k} \right) \Rightarrow \frac{k}{4} + \frac{{9k}}{{16}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{13k}}{{16}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{8}{{13}}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \frac{8}{{13}}\overrightarrow {AI} \).

Với \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( { - 1;4} \right)\) ta có \(\overrightarrow {AI}  = \left( { - 1 - 2;4 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 3;6} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{8}{{13}}\left( { - 3;6} \right) = \left( { - \frac{{24}}{{13}};\frac{{48}}{{13}}} \right)\).

Tọa độ điểm \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_H} = 2 - \frac{{24}}{{13}} = \frac{2}{{13}}}\\{{y_H} =  - 2 + \frac{{48}}{{13}} = \frac{{22}}{{13}}}\end{array}} \right.\).

Vậy tọa độ điểm \(H\) là \(H\left( {\frac{2}{{13}};\frac{{22}}{{13}}} \right)\).