Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\) cm, \(AC = 4\) cm, \(BC = 5\) cm. Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AH\) và \(BH\). Xét tính đúng/ sai của mỗi khẳng định sau:

Chọn B.

Gọi \(a\) là cạnh hình vuông (cm, \(a > 0).\)

Theo định lí Pythagore, bình phương độ dài đường chéo hình vuông là:

\({d^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = {8^2}\)

Suy ra \({a^2} = \frac{{{8^2}}}{2} = 32\).

Diện tích hình vuông \(S = {a^2} = 32\) (cm²).

Đáp án: a) Đúng.                    b) Đúng.            c) Sai.            d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\) suy ra \(BC = \sqrt {100} = 10\) (cm).

b) Đúng. Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:

\(\widehat {AHB\,} = \widehat {CHA} = 90^\circ \) và \(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cùng phụ với \(\widehat {B\,}\))

Do đó $\Delta AHB\backsim \Delta CHA$ (g.g) suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\) hay \(A{H^2} = BH \cdot CH\).

c) Sai. Tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat {A\,}\, = \widehat {D\,} = \widehat {E\,} = 90^\circ \) nên \(ADHE\) là hình chữ nhật. Do đó, hai đường chéo \(DE = AH\).

Mặt khác, \({S_{ABC}} = {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}AH \cdot BC\) suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8\) (cm).

Vậy \(DE = AH = 4,8\) cm.

d) Sai. Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) (cm²) .

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có:

\(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{6^2} - {{4,8}^2}} = \sqrt {36 - 23,04} = 3,6\) (cm).

Từ \(A{H^2} = BH \cdot CH\) suy ra \(CH = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{{4,8}^2}}}{{3,6}} = 6,4\) (cm).

Chứng minh tương tự được  (g.g) suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AD = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{{{4,8}^2}}}{6} = 3,84\) (cm).

Xét $\Delta AEH\backsim \Delta AHC$ (g.g) (chứng minh tương tự) suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) hay \(AE = \frac{{A{H^2}}}{{AC}} = \frac{{{{4,8}^2}}}{8} = 2,88\) (cm).

\({S_{ADHE}} = AD \cdot AE = 3,84 \cdot 2,88 = 11,0592\) (cm²).

\(\frac{{{S_{ADHE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{11,0592}}{{24}} = 0,4608\).

Vì tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng phối cảnh với \(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = 2\) nên diện tích của hình tương ứng \({S_{A'D'H'E'}} = A'D' \cdot A'E' = \left( {k \cdot AD} \right) \cdot \left( {k \cdot AE} \right) = {k^2} \cdot \left( {AD \cdot AE} \right) = {k^2} \cdot {S_{ADHE}}\) .

Do đó \({S_{A'D'H'E'}} = 4 \cdot 11,0592 = 44,2368\) (cm²).

Vậy diện tích phần bìa hình tứ giác tương ứng \(A'D'H'E'\) trên tấm bìa mới bằng \(44,2368\) cm².