(1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Một công ty mua hai thiết bị A và B với tổng chi phí ban đầu là \(150\) triệu đồng theo giá niêm yết. Do đang có đợt khuyến mại nên thiết bị A được giảm giá \(10\% \) và thiết bị B được giảm giá \(15\% \) trên giá niêm yết vì thế số tiền thực tế công ty phải trả cho cả hai thiết bị là \(131\) triệu đồng. Tính giá niêm yết của thiết bị A và thiết bị B.

Đổi: \(3\) triệu đồng = 3000 nghìn đồng.

Gọi \(x\) là số lần giảm 100 nghìn đồng/1tour (\(x > 0\), lần).

Số tiền 1 tour sau \(x\) lần giảm là: \(3000 - 100.x\) (nghìn đồng).

Số người tham gia tour sau \(x\) lần giảm là: \(200 + 20x\) (người).

Doanh thu từ tour là:

\(\left( {3000 - 100x} \right)\left( {200 + 20x} \right)\)

\( =  - 2000{x^2} + 40000x + 600000\)

\( =  - 2000\left( {{x^2} - 20x} \right) + 600000\)

\( =  - 2000\left( {{x^2} - 2.10x + {{10}^2} - {{10}^2}} \right) + 600000\)

\( =  - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} + {2000.10^2} + 600000\)

\( =  - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} + 800000\).

Ta có: \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0\) mọi \(x\) suy ra \( - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0\) mọi \(x\) nên \( - 2000{\left( {x - 10} \right)^2} + 800000 \le 800000\).

Do đó doanh thu lớn nhất là \(800\,\,000\). Dấu  xảy ra khi \(x - 10 = 0\) tức là \(x = 10\).

Vậy công ty phải giảm giá: \(10.100 = 1000\) (nghìn đồng) = 1 triệu đồng.

a) \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] nên ta có:

⦁ \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] (định lí Pythagore)

Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {8^2} - {4^2} = 48\]

Do đó \[AC = 4\sqrt 3 \] (cm).

⦁ \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{8} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\] suy ra \[\widehat {ABC} = 60^\circ \] nên \[\widehat {ACB} = 30^\circ \]

b)    Ta có: \[AB.\cos \widehat {ABC} + AC.\cos \widehat {ACB}\]

              \[ = AB.\frac{{AB}}{{BC}} + AC.\frac{{AC}}{{BC}}\]

              \[ = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} + \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{B{C^2}}}{{BC}} = BC\]

c) Xét \[\Delta BNC\] có: \[CA \bot NB,\,\,BM \bot CN\]  và \[BM\] cắt \[CA\] tại \[H\]

Suy ra \[H\] là trực tâm của \[\Delta BNC\] nên \[NK \bot BC.\]

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta KBN\] có:

\[\widehat {BAC} = \widehat {BKN} = 90^\circ \] và \[\widehat {ABK}\] là góc chung

Do đó $\Delta ABC\backsim \Delta KBN$ (g.g).

a)Vì $\Delta ABC\backsim \Delta KBN$  nên \[\frac{{AB}}{{KB}} = \frac{{BC}}{{BN}}\] suy ra \[\frac{4}{{KB}} = \frac{8}{6}\] do đó \[KB = 3{\rm{\;cm}}\].

Kẻ đường cao \[AF\] của \[\Delta ABK\].

Khi đó \[\Delta ABF\] vuông tại \[F\], ta có \[AF = AB \cdot \sin \widehat {ABF}\].

Xét \[\Delta ABK\] có \[{S_{ABK}} = \frac{1}{2}.AF.BK = \frac{1}{2}.AB.\sin \widehat {ABF}.BK\]

                                 \[ = \frac{1}{2}.4.\sin 60^\circ .3 = 3\sqrt 3 \] (cm²).