Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 3 (có đáp án): Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

${(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} \leq {(1. \sqrt{p - a} + 1. \sqrt{p - b} + 1. \sqrt{p - c})}^{2}$

Suy ra

$\begin{array}{l} {(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (p - a + p - b + p - c) \\ \Leftrightarrow {(\sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c})}^{2} \leq 3 p \\ \Leftrightarrow \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p} \end{array}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{\sqrt{p - a}}{1} = \frac{\sqrt{p - b}}{1} = \frac{\sqrt{p - c}}{1}$ hay a=b=c

Ta tiếp tục chứng minh $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c}$

Ta có

$\begin{array}{l} \sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \\ \Leftrightarrow p < p - a + p - b + p - c + 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} \end{array}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{(p - a) (p - b)} + 2 \sqrt{(p - b) (p - c)} + 2 \sqrt{(p - c) (p - a)} > 0$ (luôn đúng)

Vậy $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Sử dụng quy tắc khai phương một tích, tính $\sqrt{81 a^{2}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,700

Câu 2:

Giải phương trình sau $\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 x - 8} - \frac{2}{5} \sqrt{\frac{25 x - 50}{4}} = 4$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,582

Câu 3:

Tính: $\sqrt{12, 1.490}$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,241

Câu 4:

Giải phương trình sau $\sqrt{4 x^{2} - 1} - 2 \sqrt{2 x + 1} = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,752

Câu 5:

Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tính $\sqrt{27 a} . \sqrt{3 a}$ với a>0

Xem đáp án » 13/07/2024 2,583

Câu 6:

Thực hiện phép tính $A = \sqrt{72} . \sqrt{18}$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,355

Câu 7:

Tính: $\sqrt{49.100}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,882

Xem thêm các câu hỏi khác »