Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(a+1\right)x-y=a+1\left(1\right)\\ x+\left(a-1\right)y=2\left(2\right)\end{array}\right.$ (a là tham số). Với a $\ne$ 0, hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Đáp án A

Ta có  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ -\left(m-1\right)x=-m^2-5m+3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\left(1\right)\\ \left(m+1\right)x={\left(m+1\right)}^2\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m $\ne$ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{m+1}=m+1$, thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m $\ne$ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

$$\begin{gathered} S=x^2+y^2={(m+1)}^2+{(m–3)}^2 \\ =m^2+2m+1+m^2-6m+9 \\ =2m^2–4m+10=2(m^2–2m+1)+8 \\ =2{(m–1)}^2+8 \end{gathered}$$

Vì ${(m–1)}^2 \ge 0; \forall m\Rightarrow 2{(m–1)}^2+8\ge 8; \forall m$

Hay S $\ge$ 8; $\forall$m. Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 $\iff$ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Đáp án C

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ 4x-m\left(mx-2m\right)=m+6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ x\left(m^2-4\right)=2m^2-m-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m^2–4\ne 0\iff m \ne \left\{-2;2\right\}$

Khi đó

$$\begin{gathered} x=\frac{2m^2-m-6}{m^2-4} \\ =\frac{\left(2m+3\right)\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}=\frac{2m+3}{m+2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow y=m.\frac{2m+3}{m+2}-2m=\frac{-m}{m+2}$

Thay $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+3}{m+2}\\ y=\frac{-m}{m+2}\end{array}\right.$ vào phương trình 6x – 2y = 13 ta được

$$\begin{gathered} 6.\frac{2m+3}{m+2}-2.\frac{-m}{m+2}=13\iff \frac{14m+18}{m+2}=13 \\ \iff 14m+18=13m+26\iff m=8 \left(TM\right) \end{gathered}$$

Vậy m = 8 là giá trị cần tìm