Cho hệ phương trình a+1x−y=a+1 (1)x+a−1y=2 (2) (a là tham số). Với a ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên A. a = 1 B. a = −1 C. a≠±1 D. a=±1

Đáp án D Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được: x+(a–1)[(a+1)x–(a+1)]2⇔x+(a2–1)x–(a2–1)=2⇔a2x=a2+1 (3) Với a ≠ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất x=a2+1a2. Thay vào (*) ta có: y=(a+1)a2+1a2−(a+1)=a+1a2+1−a2a2+1a2=a3+a+a2+1−a3−a2a2=a+1a2 Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y)=a2+1a2;a+1a2 Hệ phương trình có nghiệm nguyên: x∈ℤy∈ℤ⇔a2+1a2∈ℤa+1a2∈ℤ (a ∈ℤ) Điều kiện cần:x=a2+1a2=1+1a2∈ℤ⇔1a2∈ℤ mà a2>0⇔a2=1 ⇔ a=±1 (TM a ≠ 0) Điều kiện đủ: a = −1 ⇒ y = 0 ∈ℤ (nhận) a = 1 ⇒ y = 2 ∈ℤ (nhận) Vậy a = ±1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Câu hỏi:

17/08/2022 4,269

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (a + 1) x - y = a + 1 (1) \\ x + (a - 1) y = 2 (2) \end{cases}$ (a là tham số). Với a $\neq$ 0, hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

A. a = 1

B. a = −1

C. $a \neq \{\pm 1\}$

D. $a = \pm 1$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 28 câu Trắc nghiệm Toán 9: Ôn tập chương III có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được:

$x + (a - 1) [(a + 1) x - (a + 1)] 2 \Leftrightarrow x + (a^{2} - 1) x - (a^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow a^{2} x = a^{2} + 1 (3)$

Với a $\neq$ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}$ . Thay vào (*) ta có:

$y = (a + 1) \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} - (a + 1) = \frac{(a + 1) (a^{2} + 1) - a^{2} (a^{2} + 1)}{a^{2}} = \frac{a^{3} + a + a^{2} + 1 - a^{3} - a^{2}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\{\begin{cases} x \in ℤ \\ y \in ℤ \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} \in ℤ \\ \frac{a + 1}{a^{2}} \in ℤ \end{cases} (a \in ℤ)$

Điều kiện cần: $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} \in ℤ$ mà $a^{2} > 0 \Leftrightarrow a^{2} = 1$

$\Leftrightarrow a = \pm 1 (T M a \neq 0)$

Điều kiện đủ:

a = −1 $\Rightarrow$ y = 0 $\in ℤ$ (nhận)

a = 1 $\Rightarrow$ y = 2 $\in ℤ$ (nhận)

Vậy a = $\pm$ 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Bình luận

Câu 1:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$ . Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức $S = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

A. m = 1

B. m = 0

C m = −1

D. m = 2

Xem đáp án » 17/08/2022 20,339

Câu 2:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 2 m \\ 4 x - m y = m + 6 \end{cases}$ . Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm giá trị của m để 6x – 2y = 13

A. m = −9

B. m = 9

C. m = 8

D. m = −8

Xem đáp án » 03/04/2021 10,257

Câu 3:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x + y = 2 \\ m x + y = m + 1 \end{cases}$ (m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x; y) của hệ phương trình?

A. Hệ phương trình luôn có nguyện duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y $\leq$ 3

B. Hệ phương trình luôn có nguyện duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y > 3

C. Hệ phương trình luôn có nguyện duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y $\geq$ 3

D. Hệ phương trình luôn có nguyện duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 3

Xem đáp án » 17/08/2022 10,084

Câu 4:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ m x - y = m \end{cases}$ . Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm điều kiện của m để x > 1 và y > 0

A. m > 0

B. m > 1

C. m < −1

D. m > 2

Xem đáp án » 17/08/2022 7,138

Câu 5:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + 1 + y (y + x) = 4 y \\ (x^{2} + 1) (y + x - 2) = y \end{cases}$ có nghiệm (x; y) là

A. (1; 2); (2; 1)

B. (1; −1); (2; 5)

C. (−2; 5); (1; 0)

D. (1; 2); (−2; 5)

Xem đáp án » 17/08/2022 4,343

Câu 6:

Biết rằng hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 2 m + 1 \\ 2 x + m y = 1 - m \end{cases}$ có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m

A. $(x; y) = (\frac{2 m^{2} + 1}{m^{2} + 2}; \frac{m^{2} - 3 m + 2}{m^{2} + 2})$

B. $(x; y) = (\frac{- m^{2} - 3 m - 2}{m^{2} + 2}; \frac{2 m^{2} + 1}{m^{2} + 2})$

C. $(x; y) = (\frac{2 m^{2} + 1}{m^{2} + 2}; \frac{m^{2} + 3 m + 2}{m^{2} + 2})$

D. $(x; y) = (\frac{2 m^{2} + 1}{m^{2} + 2}; \frac{- m^{2} - 3 m - 2}{m^{2} + 2})$

Xem đáp án » 03/04/2021 4,151

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (a + 1) x - y = a + 1 (1) \\ x + (a - 1) y = 2 (2) \end{cases}$ (a là tham số). Với a $\neq$ 0, hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$ . Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức $S = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 2 m \\ 4 x - m y = m + 6 \end{cases}$ . Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm giá trị của m để 6x – 2y = 13

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x + y = 2 \\ m x + y = m + 1 \end{cases}$ (m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x; y) của hệ phương trình?

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ m x - y = m \end{cases}$ . Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm điều kiện của m để x > 1 và y > 0

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + 1 + y (y + x) = 4 y \\ (x^{2} + 1) (y + x - 2) = y \end{cases}$ có nghiệm (x; y) là

Biết rằng hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 2 m + 1 \\ 2 x + m y = 1 - m \end{cases}$ có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hệ phương trình a+1x−y=a+1 (1)x+a−1y=2 (2) (a là tham số). Với a ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hệ phương trình m−1x−my=3m−12x−y=m+5. Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S=x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hệ phương trình mx−y=2m4x−my=m+6. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm giá trị của m để 6x – 2y = 13

Cho hệ phương trình m−1x+y=2mx+y=m+1 (m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x; y) của hệ phương trình?

Cho hệ phương trình x+2y=2mx−y=m. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm điều kiện của m để x > 1 và y > 0

Giải hệ phương trình x2+1+yy+x=4yx2+1y+x−2=y có nghiệm (x; y) là

Biết rằng hệ phương trình mx−y=2m+12x+my=1−m có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (a + 1) x - y = a + 1 (1) \\ x + (a - 1) y = 2 (2) \end{cases}$ (a là tham số). Với a $\neq$ 0, hệ có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$ . Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức $S = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 2 m \\ 4 x - m y = m + 6 \end{cases}$ . Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm giá trị của m để 6x – 2y = 13

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x + y = 2 \\ m x + y = m + 1 \end{cases}$ (m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x; y) của hệ phương trình?

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ m x - y = m \end{cases}$ . Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y), tìm điều kiện của m để x > 1 và y > 0

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + 1 + y (y + x) = 4 y \\ (x^{2} + 1) (y + x - 2) = y \end{cases}$ có nghiệm (x; y) là

Biết rằng hệ phương trình $\{\begin{cases} m x - y = 2 m + 1 \\ 2 x + m y = 1 - m \end{cases}$ có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m