Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = kx + $\frac{1}{2}$ và parabol (P): $\mathrm{y}=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2$. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?

Cho Parabol (P): y = ${\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d): y = mx + 4. Biết đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{Q}=\frac{2\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)+7}{{{\mathrm{x}}_1}^2+{{\mathrm{x}}_2}^2}$

Gọi ${\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}, {\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}$ là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{T}=\frac{4}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}.{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}}$

Cho phương trình ${\mathrm{x}}^2$ – (m + 1)x – 3 = 0  (1), với x là ẩn, m là tham số. Gọi ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt B = $\frac{3x_1^2+3x_2^2+4x_1+4x_2-5}{x_1^2+x_2^2-4}$. Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất.

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+{\mathrm{xy}}^2=6\\ \mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}=5\end{array}\right.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = ${\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d): $\mathrm{y}=-\frac{2}{3}\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{x}+\frac{1}{3}$ (m là tham số). Trong trường hợp (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$. Đặt f (x) = ${\mathrm{x}}^3$ + (m + 1)${\mathrm{x}}^2$ – x khi đó?

Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{S}\\ \mathrm{x}.\mathrm{y}=\mathrm{P}\end{array}\right.$có nghiệm, điều kiện cần và đủ là: