Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC và AB = a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}$ .

a) Tam giác ABD vuông tại A (hình vuông ABCD), áp dụng định lí Pythagore, ta có: BD² = AD² + AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BD=a\sqrt{2}$.

Vì ABCD là hình vuông nên DA // = CB, do đó: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$

Khi đó: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$ .

Suy ra: $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a\sqrt{2}$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=a\sqrt{2}$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a\sqrt{2}$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{2}$ .

c) O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$

Khi đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CB}$ .

Suy ra $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\overrightarrow{\left|CB\right|}=CB=a$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=a$ .

Ca nô chuyển từ đông sang tây, giả sử ca nô đi theo hướng A sang C, khi đó vận tốc so với mặt nước của ca nô được biểu thị bởi $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{AC}$  và có độ lớn $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=40km/h$ , vận tốc dòng chảy được biểu thị bởi $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{AB}$  và có độ lớn $\left|\overrightarrow{v_2}\right|=10km/h$ .

Khi đó vận tốc của ca nô so với bờ sông được biểu thị bởi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$ .

Ta cần tính độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v}$ , hay chính là $\left|\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\right|$ .

Dựng hình bình hành ACDB như hình vẽ.

Do hướng nam bắc vuông góc với hướng đông tây nên AB và AC vuông góc với nhau.

Suy ra ACDB là hình chữ nhật.

Nên AB = CD = 10, AC = BD = 40.

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ACD, ta có:

AD² = AC² + CD² = 40² + 10² = 1700

$\Rightarrow AD=\sqrt{1700}=10\sqrt{17}$.

Lại có do ACDB là hình bình hành nên: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$ .

Do đó: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}$$\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=10\sqrt{17}$   .