Câu hỏi:

12/05/2022 2,186

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC² = AB² + AC².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC² = AB² + AC².

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90 °$ .

Ta có: ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$

= AB² + AC² – 2 . AC . AB . cosA

= AB² + AC² – 2 . AC . AB . cos 90°

= AB² + AC² – 2 . AC . AB . 0

= AB² + AC².

Vậy BC² = AB² + AC².

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC² = AB² + AC² thì tam giác ABC vuông tại A.

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi (ảnh 2)

Ta có: ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B}$

Suy ra: BC² = AC² + AB² – 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$ (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC² = AB² + AC² nên thay vào (*) ta được:

BC² = BC² – 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$

Suy ra: 2 . AC . AB . cos $(\vec{A C}, \vec{A B})$ = 0

$\Leftrightarrow \cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = 0$ hay $\cos \hat{B A C} = 0$

Do đó: $\hat{B A C} = 90 °$ .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 10 Toán

126 người thi tuần này

Bài tập Xác định vectơ. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá của vectơ lớp 10 (có lời giải)

10 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Vật lý

460 người thi tuần này

Bài tập Xác định sai số của phép đo trực tiếp lớp 10 (có lời giải)

12 câu 3.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Hóa học

204 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Hóa học 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Trãi (Đà Nẵng) có đáp án

21 câu 1 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Tiếng Anh

528 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 10 Global Success Unit 3 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Sinh học

143 người thi tuần này

10 câu Trắc nghiệm Sinh học 10 Kết nối tri thức Bài 7 có đáp án

10 câu 3.6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Lịch sử

391 người thi tuần này

31 câu Trắc nghiệm Lịch sử 10 Bài 3 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

31 câu 5.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Địa lý

29 người thi tuần này

Trắc nghiệm Địa Lí 10 Bài 8 (có đáp án): Tác động của nội lực đến địa hình bề mặt Trái Đất

13 câu 10.5 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 10 Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

396 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Giáo dục quốc phòng và an ninh 10 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 6.4 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\vec{v_{1}}$ , vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\vec{v_{2}}$ và vận tốc mới của máy bay chính là $\vec{v}$ thỏa mãn $\vec{v} = \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}}$ . Ta cần tính độ dài vectơ $\vec{v}$ .

Theo bài ra ta có: $|\vec{v_{1}}| = 700$ km/h, $|\vec{v_{2}}| = 40$ km/h, $(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}) = 45 °$ .

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng (ảnh 2)

Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có $\hat{A B C} = 45 °$ .

Suy ra: $\hat{D A B} = 180 ° - 45 ° = 135 °$ ; $A D = |\vec{v_{2}}| = 40$ , $A B = |\vec{v_{1}}| = 700$ .

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ $\vec{v}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có:

BD² = AD² + AB² – 2 . AD . AB . cosA

= 40² + 700² – 2 . 40 . 700 . cos135°

≈ 531 197, 98

Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h).

Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h.

Câu 2

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{B A C} = 60 °$ . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

a) Tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{A M}, \vec{B D}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn (ảnh 1)

a) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . c o s \hat{B A C}$ = 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ $= \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

Do đó: $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ .

+ Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = (- \vec{A B}) + \vec{A D}$

Mà $\vec{A D} = \frac{7}{12} \vec{A C}$

Nên $\vec{B D} = (- \vec{A B}) + \frac{7}{12} \vec{A C}$ $= - \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{B D} = - \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C}$ .

c) Ta có: $\vec{A M} . \vec{B D} = (\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}) . (- \vec{A B} + \frac{7}{12} \vec{A C})$

$= \frac{- 1}{2} {\vec{A B}}^{2} + \frac{7}{24} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A B} + \frac{7}{24} {\vec{A C}}^{2}$

$= \frac{- 1}{2} . A B^{2} + \frac{7}{24} . \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{7}{24} . A C^{2}$

$= \frac{- 1}{2} {.2}^{2} + \frac{7}{24} .3 - \frac{1}{2} .3 + \frac{7}{24} {.3}^{2}$ = 0

Suy ra: $\vec{A M} . \vec{B D} = 0$ .

Vậy AM ⊥ BD.

Câu 3