Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 71). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC­² – 2 . AB . AC . cos$\widehat{BAC}$

        = 3² + 4² – 2 . 3. 4 . cos 120°

        = 9 + 16 – (– 12)

        = 37

Suy ra: $BC=\sqrt{37}\approx 6$.

+ Ta có: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}$$=\frac{3^2+6^2-4^2}{\mathrm{2.3.6}}=\frac{29}{36}$

Suy ra $\widehat{B}\approx 36°$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

Suy ra: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{6}{2.\sin 120°}=2\sqrt{3}\approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.

c) Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A$$=\frac{1}{2}\mathrm{.3.4.}\sin 120°=3\sqrt{3}\approx 5$.

d) Kẻ đường cao AH.

Ta có diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra: $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.5}{6}\approx 2$.

e)

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

= 3 . 4 . cos 120° = – 6.

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-6$.

+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$  .

Suy ra: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Khi đó: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(AC-AB\right)=\frac{1}{2}\left(4-3\right)=\frac{1}{2}$

  Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}$.

+ Ta có:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²

= [sin(90° – 70°) + sin 70°]² + [cos(90° – 70°) + cos(180° – 70°)]²

= (cos70° + sin 70°)² + [sin 70° + (– cos 70°)]²

= (cos 70° + sin 70°)² + (sin 70° – cos 70°)²

= cos² 70° + 2 . cos 70° . sin 70° + sin² 70° + sin² 70° – 2 . sin 70° . cos 70° + cos² 70°

= 2(cos² 70° + sin² 70°)

= 2 . 1 = 2

Vậy A = 2.

+ Ta có:

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°

= tan (90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan (180° – 70°) + cot (180° – 70°)

= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)

= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)

= 0 + 0 = 0

Vậy B = 0.