Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d_{}: \frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng (P):x+y+z+2=0. Đường thẳng $∆$  nằm trong mặt phẳng (P)  vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P)  đến $∆$ bằng $\sqrt{42}$. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên $∆$. Giá trị của bc bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 3x-2y+z+6=0. Hình chiếu vuông góc của điểm A(2;-1;0) lên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có tọa độ là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và  đường thẳng $d_{}: \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$. Tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}={60}^o,\widehat{ BMC}={90}^o, \widehat{CMA}={120}^o$ có dạng M(a;b;c) với a<0. Tổng a+b+c bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c>0.  Biết rằng $M\left(\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)$  đi qua điểm và tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{72}{7}$. Tính $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ 

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-11=0$. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một  đường tròn (C). Tọa độ điểm H là tâm đường tròn (C) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3}$,$d_2: \left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=m\end{array}\right.$. Gọi S là tập hợp tất cả  các số  m sao cho đường thẳng $d_1$  và $d_2$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$. Tính tổng các phần tử của S.

Trong không gian với hệ  tọa độ  Oxyz, cho vecto $\overrightarrow{u}=(x;2;1)$  và vec tơ $\overrightarrow{v}=(1;-1;2x)$. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{u} và \overrightarrow{v}$.

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M(1;-3;4) và song song với mặt phẳng $\left(\beta \right)$: 6x +2y-z-7=0. Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là: