Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;2), B(2;-3;1), C(3;2;2) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x-3y+Z=0. Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên $\left(\alpha \right)$. D'  là điểm sao cho A'B'C'D' là hình bình hành. Diện tích hình bình hành A'B'C'D' bằng

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(5;1;5), B(4;3;2), C(-3;-2;1). Điểm I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính a+2b+c?

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;5), B(3;4;1), C(2;3;-3). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên (Oxz). Độ dài GM ngắn nhất bằng

Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân ABCD có các đáy lần lượt là AB, CD. Biết A(3;1;-2), B(-1;3;2), C(-6;3;6),  và D(a;b;c)  với a, b, c $\in \mathrm{ℝ}$. Tính T = a+ b+ c.

Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}=(1;-2;4)$,  $\overrightarrow{b}=\left(x_0;y_0;z_0\right)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$. Biết vectơ $\overrightarrow{b}$ tạo với tia Oy một góc nhọn và $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{21}$. Giá trị của tổng $x_0+y_0+z_0$  bằng 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng

Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=-1-2t\\ y=t\\ z=-1+3t\end{array}\right.$ , $d\text{'}: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\text{'}\\ y=-1+2t\text{'}\\ z=-2t\text{'}\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt d và d'  có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=25$  và M(4;5;3). Qua M kẻ các tia Mx, My, Mz  đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A, B, C. Biết mặt phẳng (ABC)  luôn đi qua một điểm cố định H(a;b;c). Tính a+3b-c.