Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABD vuông cân tại A, theo định lí Pythagore, ta có: BD² = AD² + AB² = a² + a² = 2a²

Suy ra: BD = $a\sqrt{2}$.

Do đó: AC = BD = $a\sqrt{2}$ (hai đường chéo của hình vuông bằng nhau).

O là tâm của hình vuông ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của mỗi đường.

Do đó: AO = OC = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$; BO = OD = $\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{OC}$ cùng phương và cùng hướng, hơn nữa $\left|\overrightarrow{AO}\right|=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $\left|\overrightarrow{OC}\right|=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, nên $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$.

Do đó: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ và $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ngoài ra, có thể tìm được các cặp vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ khác như sau:

+) $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{CO}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ và $\left|\overrightarrow{DO}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+) $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}$ và $\left|\overrightarrow{BO}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Trong hình đã cho chỉ có hai cạnh AC và BD là bằng nhau và bằng $a\sqrt{2}$. Tuy nhiên hai cạnh này cắt nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương nên chúng không đối nhau.

Vậy không có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Tam giác ABC có F và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF // = $\frac{1}{2}$ BC.

Do D là trung điểm của BC nên BD = DC = $\frac{1}{2}BC$.

Suy ra EF = BD = DC và EF // BD, EF // DC.

Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{DB}$ có giá song song với nhau, có cùng hướng đi từ phải qua trái nên hai vectơ này cùng hướng, hơn nữa $\left|\overrightarrow{EF}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|$.

Do đó $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$ (do chúng cùng hướng và cùng độ dài).

b) Ta có FD là đường trung bình của tam giác ABC nên FD // = $\frac{1}{2}$AC.

Mà E là trung điểm của AC nên AE = EC = $\frac{1}{2}AC$.

Do đó: AE = EC = FD.

Hai vectơ $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{DF}$ có giá song song và có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng. Hơn nữa $\left|\overrightarrow{EC}\right|=\left|\overrightarrow{DF}\right|$.

Do đó $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{DF}$ là hai vectơ đối nhau hay $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{DF}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{EA}$ và $\overrightarrow{EC}$ có giá trùng nhau và có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng. Hơn nữa $\left|\overrightarrow{EA}\right|=\left|\overrightarrow{EC}\right|$.

Do đó $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{EA}$ là hai vectơ đối nhau hay $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{EA}$.

Ngoài ra, ta còn có $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{CE}$.