Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

a) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC nhọn.

- Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, AC. Ba đường trung trực này giao nhau tại điểm O (điểm O nằm trong tam giác ABC).

b) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC vuông tại A.

- Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, AC. Ba đường trung trực này giao nhau tại điểm O (điểm O là trung điểm của đoạn BC).

c) Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC tù.

- Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, AC. Ba đường trung trực này giao nhau tại điểm O (điểm O nằm ngoài tam giác ABC).

a) Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác nên tam giác ABC nhọn và O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM $\perp$ BC.

b) Do OM $\perp$ BC nên $\Delta OMB$ và $\Delta OMC$ vuông tại M.

Xét $\Delta OMB$ vuông tại M và $\Delta OMC$ vuông tại M có:

OM chung.

MB = MC (theo giả thiết).

Do đó $\Delta OMB=\Delta OMC$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$