Cho ∆ABC cân tại A, có $\widehat{A}=50°$. Đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D. Trên tia đối của tia AD, lấy điểm M sao cho AM = CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Đáp án đúng là: C

Vì D thuộc đường trung trực của cạnh AB.

Nên D cách đều hai đầu mút A và B.

Suy ra DA = DB.

Do đó ∆ABD cân tại D.

Vì vậy $\widehat{ABD}=\widehat{BAD}$ (tính chất tam giác cân)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}=180°-50°=130°$.

Do đó $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=130°:2=65°$.

Vì vậy $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=65°$.

Suy ra $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=65°$.

Do đó $\widehat{CAD}=65°-\widehat{BAC}=65°-50°=15°\ne 20°$.

Vì vậy đáp án A sai.

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAD}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{MAB}=180°-\widehat{BAD}=180°-65°=115°$  (1).

Ta có $\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ACD}=180°-\widehat{ACB}=180°-65°=115°$  (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{ACD}$.

Xét ∆ABM và ∆CAD, có:

 AM = CD (giả thiết).

$\widehat{MAB}=\widehat{ACD}$ (chứng minh trên).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABM = ∆CAD (c.g.c)

Suy ra BM = AD (cặp cạnh tương ứng).

Mà DB = DA (chứng minh trên).

Do đó BM = DB.

Suy ra ∆BMD cân tại B.

Do đó đáp án C đúng.

∆ACD có: $\widehat{ACD}+\widehat{CAD}+\widehat{ADC}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ACD}-\widehat{CAD}=180°-115°-15°=50°\ne 60°$.

Vì vậy ∆BMD không phải là tam giác đều.

Do đó đáp án B và D sai.

Vậy ta chọn đáp án C.