b) Giả sử rằng với 1 < b < 5, có tam giác ABC thỏa mãn AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = b (cm). Với mỗi tam giác đó, hãy sắp xếp ba góc A, B, C theo thứ tự từ bé đến lớn.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

BC − AB < AC < BC + AB

Hay 5 − 2 < b < 5 + 2

Do đó 3 < b < 7

Mà b là số nguyên nên b ∈ {4; 5; 6}.

b)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MAB ta có:

MA + MB > AB (5)

Tương tự với các tam giác MBC và MAC ta lần lượt suy ra được:

MB + MC > BC và MA + MC > AC (6).

Từ (5) và (6) ta suy ra được:

(MA + MB) + (MB + MC) + (MA + MC) > AB + BC + AC

Hay 2(MA + MB + MC) > AB + BC + AC

Suy ra $\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)<MA+MB+MC(\ast )$

Mặt khác chứng minh tương tự theo a) ta có:

AB + AC > MB + MC; AC + BC > MA + MB; BC + BA > MC + MA.

Từ đó ta suy ra được:

(MA + MB) + (MB + MC) + (MA + MC) < (AC + AB) + (AB + AC) + (BC + BA)

Hay 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)

Suy ra MA + MB + MC < AB + BC + CA (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra:

$\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$ (đpcm).