Câu hỏi:

12/07/2024 2,798

Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Trình bày lời giải

Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm.  (ảnh 1)

Gọi K là giao điểm của AM và BC.

Xét ∆KBM và ∆KAB có: K  chung;KBM^=KAB^ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp chắn cùng chắn cung  của (O) )

Do đó: ΔKBMΔKABKBKA=KMKBKB2=KM.KA (1)

 MCK^=MBA^(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM  của (I)).

KAC^=MBA^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AM  cuả (O)).

Do đó:MCK^=KAC^ . Xét ∆KCM và ∆KAC có: K  chung ,MCK^=KAC^ . Do đó ΔKCM  ΔKACKCKA=KMKCKC2=KM.KA  (2).

Từ (1) và (2) ta có:  KC2=KB2KC=KB. Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trình bày lời giải

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD.  (ảnh 1)

Ta có  MAC^=ADC^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); AMD^  chung. Suy ra ΔMACΔMDA  (g-g) suy ra:  MA2= MC.MD  và MAMD=ACAD

Tương tự: ΔMBCΔMDB  suy ra: MBMD=BCBD

Xét MCMD=MC.MDMD2=MA2MD2=MAMDMBMD=ACADBCBD (1) 

Mặt khác : ΔIACΔIDB   suy ra: ICIB=ACBD

ΔIBCΔIDA  suy ra:  IBID=BCAD ;

Do đó:ACADBCBD=ACBDBCAD=ICIBIBID=ICID (2) 

Từ (1) và (2) suy ra: ICID=MCMD .

Lời giải

Trình bày lời giải:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M.  (ảnh 1)

 A1^=A2^B1^=A2^   ( góc nội tiếp) nên B1^=A1^ .

 ΔMBDΔMAB   (g.g) MDMB=MBMAMDMK=MKMA

Kết hợp với DMK^=AMK^  (góc chung)

ta có: ΔDMKΔ KMA  (c.g.c) MDK^=MKA^=90°

Vậy DK ^AM.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP