Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .

Gọi K là giao điểm của CM và DB

MA = MB ; $\widehat{A}=\widehat{\text{B}}={90}^0;\widehat{AMC}=\widehat{\text{BMK}}$ ,

$\Rightarrow$ Tam giác MAC = MBK $\Rightarrow$ MC = MK

Mặt khác DM vuông góc với CK

$\Rightarrow$ tam giác DCK cân $\Rightarrow {\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$

Kẻ MH vuông góc với CD .

 $\Rightarrow$Tam giác MHD = MBD $\Rightarrow$ MH = MB = a

$\Rightarrow$ S_MCD =$\frac{1}{2}$CD.MH ≥ $\frac{1}{2}$ AB.MH =$\frac{1}{2}.$ 2a.a= a²

S_MCD = a² $\iff$ CD vuông góc với Ax khi đó $\widehat{AMC}$  = 45⁰ ; $\widehat{BMD}$  =45⁰.

Vậy min S_MCD = a² . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a .

Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ BH vuông góc với AC .

Ta có : S_ABCD = 2S_ABC  = AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :

S_ABCD ≤ 8.3 = 24 (cm²)

S_ABCD = 24 cm² $\iff$ BH ≡ BO $\iff$ H ≡ O $\iff$ BD vuông góc với AC

Vậy max S_ABCD = 24 cm² . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm².