Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .

Tam giác HAE = tam giác EBF = tam giác FCG = tam giác GHD

$\Rightarrow$ HE = EF = FG = GH

$\Rightarrow$ EFGH là hình thoi .

$\Rightarrow$  $\widehat{AHE}=\widehat{B\text{EF}}$

$\Rightarrow \widehat{AHE}+\widehat{\text{AEH}}={90}^0$

$\Rightarrow$  $\widehat{B\text{EF}}+\widehat{\text{AEH}}={90}^0\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^0$

$\Rightarrow$ EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.

DHOE vuông cân : HE² = 2OE² $\Rightarrow$ HE = OE$\sqrt{2}$

Chu vi EFGH = 4HE = 4$\sqrt{2}$ OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất $\iff$ OE nhỏ nhất

Kẻ OK vuông góc với AB $\Rightarrow$ OE ≥OK ( OK không đổi )

OE = OK $\iff$ E ≡ K

Do đó min OE = OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.