Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho $O A = R \sqrt{2}$ . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Đặt: AD = x; AE = y $\Rightarrow S_{ADE}^{} = \frac{1}{2} xy$ (x, y > 0)

Ta có: DE $= \sqrt{{AD}^{2} + {AE}^{2}} = \sqrt{x^{2} {+ y}^{2}}$ (định lí Pitago).

Vì AD + DE + AE = 2R $\Rightarrow x + y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ = 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: $x + y \geq 2 \sqrt{xy} và \sqrt{x^{2} {+ y}^{2}} \geq \sqrt{2 xy}$ (7).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Từ (6) và (7) suy ra: $2 \sqrt{xy} + \sqrt{2 xy} \leq 2 R \Leftrightarrow \sqrt{xy} (2 + \sqrt{2}) \leq 2 R$

$\Leftrightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{2 R}{(2+ \sqrt{2})} \Leftrightarrow$ xy $\leq \frac{{2R}^{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} \Rightarrow$ SADE $\leq \frac{R^{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow S_{ADE}^{} \leq (3 - 2 \sqrt{2}) R^{2}$ .

Vậy max SADE = $(3 - 2 \sqrt{2}) R^{2} ⇔$ x = y $\Leftrightarrow$ ∆ADE cân tại A

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

IO // AC, mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

Câu 2

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh $\hat{C O D} = 90^{0}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà $\hat{A O M}$ và $\hat{B O M}$ là hai góc kề bù => $\hat{C O D}$ = 900.

Câu 3