Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho $O A = R \sqrt{2}$ . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Đặt: AD = x; AE = y $\Rightarrow S_{ADE}^{} = \frac{1}{2} xy$ (x, y > 0)

Ta có: DE $= \sqrt{{AD}^{2} + {AE}^{2}} = \sqrt{x^{2} {+ y}^{2}}$ (định lí Pitago).

Vì AD + DE + AE = 2R $\Rightarrow x + y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ = 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: $x + y \geq 2 \sqrt{xy} và \sqrt{x^{2} {+ y}^{2}} \geq \sqrt{2 xy}$ (7).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Từ (6) và (7) suy ra: $2 \sqrt{xy} + \sqrt{2 xy} \leq 2 R \Leftrightarrow \sqrt{xy} (2 + \sqrt{2}) \leq 2 R$

$\Leftrightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{2 R}{(2+ \sqrt{2})} \Leftrightarrow$ xy $\leq \frac{{2R}^{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} \Rightarrow$ SADE $\leq \frac{R^{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow S_{ADE}^{} \leq (3 - 2 \sqrt{2}) R^{2}$ .

Vậy max SADE = $(3 - 2 \sqrt{2}) R^{2} ⇔$ x = y $\Leftrightarrow$ ∆ADE cân tại A

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

IO // AC, mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

Câu 2

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh $\hat{C O D} = 90^{0}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà $\hat{A O M}$ và $\hat{B O M}$ là hai góc kề bù => $\hat{C O D}$ = 900.

Câu 3