Dạng 7. Bài luyện tập có đáp án

Ta có $\widehat{BAC}$  = 90⁰ (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)

Tương tự có  $\widehat{BDH}=\widehat{CEH}={90}^0$

Xét tứ giác ADHE có $\widehat{A}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}={90}^0$  => ADHE là hình chữ nhật.

Từ đó DE = AH mà  $A{H}^2=BH.CH$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

hay $A{H}^2=10.40=400$  (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 (đơn vị độ dài)

Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{C}$  (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà  $\widehat{DAH}=\widehat{ADE}$(1)

(Vì ADHE là hình chữ nhật) =>$\widehat{C}=\widehat{ADE}$  do $\widehat{C}+\widehat{BDE}={180}^0$  nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.

Vì $O_{1}D=O_{1}B$   =>$\Delta O_{1}BD$ cân tại   => $\widehat{B}=\widehat{BD{O}_1}$  (2)

Từ (1), (2) =>$\widehat{ADE}+\widehat{BD{O}_1}=\widehat{B}+\widehat{BAH}$ = 900 =>  $O_{1}D//O_{2}E$

Vậy  là hình thang vuông tại D và E.

Ta có S =$\frac{1}{2}(O_{1}D+O_{2}E).DE=\frac{1}{2}{O}_1{O}_2.DE\le \frac{1}{2}{O}_1{O}_2^2$

(Vì $O_{1}D+O_{2}E=O_{1}H+O_{2}H=O_1{O}_2$  và  $DE\le O_1{O}_2$)

$S_{ht}\le \frac{1}{2}{O}_1{O_2}^2=\frac{B{C}^2}{8}=\frac{R^2}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  $DE=O_1{O}_2$

$\iff DE{O}_1{O}_2$  là hình chữ nhật

$\iff$ A là điểm chính giữa cung BC Khi đó max $S_{DE{O}_1{O}_2}=\frac{R^2}{2}$ .

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng MN. Xét tứ giác OAMH

$\widehat{A}+\widehat{H}={180}^0(do\widehat{A}=\widehat{H}={90}^0)$

=> OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp được

=> $\widehat{A_1}=\widehat{M_1},\widehat{B_1}=\widehat{N_1}$ (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)

$\Rightarrow \widehat{A_1}+\widehat{B_1}=\widehat{M_1}+\widehat{N_1}={90}^0$ => $\widehat{AHB}$  = 90⁰. Hay H thuộc (O) lại có  $OH\perp MN$

=> MN là tiếp tuyến của (O)

Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng trong tam vuông, ta có:

 $AM.BN=MH.NH=O{H}^2=\frac{A{B}^2}{4}$ (đpcm)

$S_{MON}=\frac{1}{2}$OH. MN > $\frac{1}{2}$  OH. AB (Vì AMNB là hình thang vuông)

Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB

M, N song song với AB AM = BN =$\frac{AB}{2}.$

Vậy $S_{MON}$  nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN =$\frac{AB}{2}.$

Ta có $\widehat{ACK}={90}^0$  (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên CK vuông góc với  AC mà BH vuông góc với AC (vì H trực tâm)

=> CK // BH tương tự có CH // BK

=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm)

OM vuông góc với BC => M trung điểm của BC

(định lý đường kính và dây cung) => M là trung điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) => đpcm tam giác AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM