Dạng 7. Bài luyện tập có đáp án

Câu 1

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH vuông góc với BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O₁; O₂ cắt AB, AC thứ tự tại D và E.

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta có $\hat{B A C}$ = 90⁰ (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)

Tương tự có $\hat{B D H} = \hat{C E H} = 90^{0}$

Xét tứ giác ADHE có $\hat{A} = \hat{A D H} = \hat{A E H} = 90^{0}$ => ADHE là hình chữ nhật.

Từ đó DE = AH mà $A H^{2} = B H . C H$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

hay $A H^{2} = 10.40 = 400$ (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 (đơn vị độ dài)

Câu 2

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH vuông góc với BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O₁; O₂ cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta có: $\hat{B A H} = \hat{C}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà $\hat{D A H} = \hat{A D E}$ (1)

(Vì ADHE là hình chữ nhật) => $\hat{C} = \hat{A D E}$ do $\hat{C} + \hat{B D E} = 180^{0}$ nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.

Câu 3

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH vuông góc với BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O₁; O₂ cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác $D E O_{1} O_{2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Vì $O_{1} D = O_{1} B$ => $Δ O_{1} B D$ cân tại => $\hat{B} = \hat{B D O_{1}}$ (2)

Từ (1), (2) => $\hat{A D E} + \hat{B D O_{1}} = \hat{B} + \hat{B A H}$ = 900 => $O_{1} D / / O_{2} E$

Vậy là hình thang vuông tại D và E.

Ta có S = $\frac{1}{2} (O_{1} D + O_{2} E) . D E = \frac{1}{2} O_{1} O_{2} . D E \leq \frac{1}{2} O_{1} O_{2}^{2}$

(Vì $O_{1} D + O_{2} E = O_{1} H + O_{2} H = O_{1} O_{2}$ và $D E \leq O_{1} O_{2}$ )

$S_{h t} \leq \frac{1}{2} O_{1} {O_{2}}^{2} = \frac{B C^{2}}{8} = \frac{R^{2}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $D E = O_{1} O_{2}$

$\Leftrightarrow D E O_{1} O_{2}$ là hình chữ nhật

$\Leftrightarrow$ A là điểm chính giữa cung BC Khi đó max $S_{D E O_{1} O_{2}} = \frac{R^{2}}{2}$ .

Câu 4

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. Lấy M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho $\hat{M O N}$ = 900.

Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng MN. Xét tứ giác OAMH

$\hat{A} + \hat{H} = 180^{0} (d o \hat{A} = \hat{H} = 90^{0})$

=> OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp được

=> $\hat{A_{1}} = \hat{M_{1}}, \hat{B_{1}} = \hat{N_{1}}$ (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)

$\Rightarrow \hat{A_{1}} + \hat{B_{1}} = \hat{M_{1}} + \hat{N_{1}} = 90^{0}$ => $\hat{A H B}$ = 90⁰. Hay H thuộc (O) lại có $O H ⊥ M N$

=> MN là tiếp tuyến của (O)

Câu 5

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. Lấy M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho $\hat{M O N}$ = 900.

Chứng minh AM. BN = $\frac{A B^{2}}{4}$

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng trong tam vuông, ta có:

$A M . B N = M H . N H = O H^{2} = \frac{A B^{2}}{4}$ (đpcm)

Câu 6