Dạng 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.

Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho $\widehat{yOm}=\widehat{xOA}$  . Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .

OD =OA, OC = OB ,  $\widehat{COD}=\widehat{\text{BOA}}$

$\Rightarrow$ Tam giác DOC = tam giác AOB $\Rightarrow$ CD = AB

Do đó AC +AB = AC +CD

Mà AC +CD ≥ AD

$\Rightarrow$AC +AB   ≥ AD

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C thuộc AD

Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.

Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).

tam giác AEF vuông tại A có AI là trung tuyến $\Rightarrow$  $AI=\frac{1}{2}EF$

Tam giác CGH vuông tại C có CM là trung tuyến $\Rightarrow$  $CM=\frac{1}{2}GH$

IK là đường trung bình của DEFG $\Rightarrow$ $IK=\frac{1}{2}FG$

KM là đường trung bình của DEGH $\Rightarrow$  $KM=\frac{1}{2}EH$

Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC Û A,I,K,M,C thẳng hàng.

Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, $\widehat{AEI}=\widehat{\text{EAI}}=\widehat{ADB}$  nên EF//DB , tương tự GH//DB . Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13).