Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).

tam giác AEF vuông tại A có AI là trung tuyến $\Rightarrow$  $AI=\frac{1}{2}EF$

Tam giác CGH vuông tại C có CM là trung tuyến $\Rightarrow$  $CM=\frac{1}{2}GH$

IK là đường trung bình của DEFG $\Rightarrow$ $IK=\frac{1}{2}FG$

KM là đường trung bình của DEGH $\Rightarrow$  $KM=\frac{1}{2}EH$

Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC Û A,I,K,M,C thẳng hàng.

Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, $\widehat{AEI}=\widehat{\text{EAI}}=\widehat{ADB}$  nên EF//DB , tương tự GH//DB . Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13).