Dạng 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .

Đặt MA =x , MB = y

Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)

Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB .

Ta có: S +S’ = $\pi {\left(\frac{x}{2}\right)}^2+\pi {\left(\frac{y}{2}\right)}^2$ = $\pi$.$\frac{x^2+y^2}{4}$

Ta có bất đẳng thức :$x^2+y^2\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}$ nên :

S +S’ $\ge \pi .\frac{{\left(x+y\right)}^2}{8}$=$\pi .\frac{A{B}^2}{8}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Do đó min (S+S’) =  $\pi .\frac{A{B}^2}{8}$. Khi đó M là trung điểm của AB.

Ta có : S_MCD = $\frac{1}{2}$ MC.MD

Đặt MA = a , MB = b

 $\widehat{AMC}=\widehat{\text{BDM}}=\alpha$

MC =  $\frac{a}{c\text{os}\alpha }$, MD =$\frac{b}{\sin \alpha }$

S_MCD = $\frac{1}{2}.\frac{ab}{c\text{os}\alpha .\sin \alpha }$

Do a,b là hằng số nên S_MCD nhỏ nhất $\iff$ 2sina.cosa   lớn nhất .

Theo bất đẳng thức     2xy $⩽$ x² +y²    ta có :

2sina.cosa   $⩽$ sin²a +cos²a = 1         nên      S_MCD ≥ ab

S_MCD = ab $\iff$ sina = cosa $\iff$ sina = sin(90⁰-a) $\iff$ a = 90⁰-a $\iff$ a = 45⁰

$\iff$ Tam giác AMC và tam giác BMD vuông cân.

S_ADME lớn nhất $\iff$ $\frac{S_{ADME}}{S_{ABC}}$  lớn nhất

Kẻ BK vuông góc AC cắt MD ở H.

S_ADME = MD . HK

S_ABC = $\frac{1}{2}$ AC . BK

$\frac{S_{ADME}}{S_{ABC}}=2.\frac{MD}{AC}.\frac{HK}{BK}$

Đặt MB = x , MC = y ,

MD//AC ta có : $\frac{MD}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{x}{x+y}; \frac{HK}{BK}=\frac{MC}{BC}=\frac{y}{x+y}$   

Theo bất đẳng thức   $\frac{xy}{{\left(x+y\right)}^2}\le \frac{1}{4}\text{\hspace{0.17em}⇒}\frac{S_{ADME}}{S_{ABC}}=\frac{2xy}{{\left(x+y\right)}^2}\le \frac{1}{2}$ 

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y

Vậy max S_ADME =$\frac{1}{2}$ S_ABC khi đó M là trung điểm của BC.

Ta có :

2S_DEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) .HK

Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi   

Nên (BH + KC) .HK lớn nhất $\iff$BH + KC) = HK =$\frac{a}{2}$

max S_DEKH =$\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}$

Khi đó đường cao HK =  $\frac{a}{2}$ suy ra :

KC = BC -BH –HK = a -$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a}{4}$

Do đó DH = HB = $\frac{a}{4}$  , EK = KC = $\frac{a}{4}$  .

Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.